expectativa de una normal estándar dentro de la FCD

Question

Me preguntaba si hay una forma de calcular la siguiente expectativa de forma analítica.

$ \mathbb{E}\left[e^{cZ}\Phi\left(a+bZ\right)\right] $

donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar y $\Phi$ es la FCD de la normal estándar.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $Z\sim N\left(0,1\right)$ y $f$ es una función "limpia" entonces:

$$\mathbb{E}\left[e^{cZ}f\left(Z\right)\right]=e^{\frac{1}{2}c^{2}}\mathbb{E}f\left(Z+c\right)$$

Empezamos con:

$\mathbb{E}\left[e^{cZ}f\left(Z\right)\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{cz-\frac{1}{2}z^{2}}f\left(z\right)dz$ .

Aplicando $v=z-c$ y encontramos:

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{cz-\frac{1}{2}z^{2}}f\left(z\right)dz=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{cv-\frac{1}{2}\left(v+c\right)^{2}}f\left(v+c\right)dv=\frac{e^{-\frac{1}{2}c^{2}}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}v^{2}}f\left(v+c\right)dv=e^{-\frac{1}{2}c^{2}}\mathbb{E}\left[f\left(Z+c\right)\right]$

Al lado tenemos: $$\mathbb{E}\Phi\left(a+bZ\right)=\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^{2}}}\right)$$

$\mathbb{E}\Phi\left(a+bZ\right)$ puede ser reconocido como $P\left(V\leq a+bZ\right)$ donde $Z,V\sim N\left(0,1\right)$ son independientes.

Así que $\mathbb{E}\Phi\left(a+bZ\right)=P\left(W\leq a\right)$ donde $W=V-bZ$ .

Aquí $W\sim N\left(0,1+b^{2}\right)$ así que $W'=\frac{W}{\sqrt{1+b^{2}}}\sim N\left(0,1\right)$ .

Esto lleva a $\mathbb{E}\Phi\left(a+bZ\right)=P\left(W\leq a\right)=P\left(W'\leq\frac{a}{\sqrt{1+b^{2}}}\right)=\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^{2}}}\right)$ .

Aplicando estos hechos encontramos:

$$\mathbb{E}e^{cZ}\Phi\left(a+bZ\right)=e^{\frac{1}{2}c^{2}}\mathbb{E}\Phi\left(a+bc+bZ\right)=e^{\frac{1}{2}c^{2}}\Phi\left(\frac{a+bc}{\sqrt{1+b^{2}}}\right)$$