Puntos interiores de un conjunto convexo

Question

Si se sabe que el punto I es un punto interior del conjunto convexo C, ¿tendré razón al afirmar que cualquier punto de la forma K = pI + (1-p)X, donde X es cualquier otro punto del conjunto convexo, p>0 y p<=1, es también un punto interior?

Alternativamente: un punto límite no puede ser expresado como una combinación convexa de puntos donde hay una contribución no trivial de los puntos interiores.

Intuitivamente parece que es así, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

Desde $I \in {\rm Int\,} C$ tiene un vecindario abierto $O$ se encuentra completamente dentro $C$ .

Para cualquier $K = pI + (1-p)X$ con $p \in (0,1]$ , considere el mapa

$$\phi_p : y \mapsto X + \frac1p (y - X)$$

Este mapa es continuo y envía $K$ a $I$ . La preimagen $\phi^{-1}_p(O)$ se estará abierto y contendrá $K$ . Para cualquier $y \in \phi^{-1}_p(O)$ tenemos $$x = \phi_p(y) \in O \subset C \quad\implies\quad y = px + (1-p) X \in C$$ porque $C$ es convexo. Esto implica $\phi^{-1}_p(O) \subset C$ . Esto significa que $K$ tiene un barrio abierto $\phi^{-1}_p(O)$ que se encuentra completamente dentro de $C$ . es decir $K \in {\rm Int\,}C$ .

Este argumento funciona para cualquier espacio vectorial topológico real.