Mi pregunta es cómo encontrar todas las clases de conjugación de orden 5 de la simetría rotacional del dodecaedro. Sé que podría encontrarlas considerando las clases de conjugación de orden 5 en A5, pero me gustaría encontrarlas considerando el dodecaedro.
También sé que los elementos de orden 5 son rotaciones por el centro de un lado del dodecaedro. Mi problema es que no puedo visualizar qué rotaciones tengo que utilizar para demostrar que hay dos clases de conjugación de elementos de orden 5.
Hay al menos dos clases de conjugación ya que los elementos de orden $5$ girar a través de dos ángulos diferentes, $2\pi/5$ y $4\pi/5$ .
Para demostrar que hay exactamente dos clases de conjugación, necesitamos exhibir una rotación para cada par de elementos en cada clase que rote el eje de rotación (orientado) de un elemento en el del otro.
Como usted dice, los elementos del orden $5$ son rotaciones sobre los ejes que pasan por los centros de las caras. Podemos considerar cada clase como, por ejemplo, las rotaciones en el sentido de las agujas del reloj a través de $2\pi/5$ y $4\pi/5$ respectivamente, en torno a ejes que pasan por el centro de cada cara, orientados hacia esa cara.
Una rotación a través de $\pi$ alrededor de un eje que pasa por el centro de una arista de una cara intercambia esa cara con la adyacente con la que comparte esa arista. Cualquier cara puede moverse a cualquier otra cara mediante una serie de intercambios con las caras adyacentes.
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