Relación entre la imagen de la función y la divergencia de la función

Question

Dejemos que $D = \{x\in \mathbb{R}~|~x\geq 0\}$ y $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua con $f[D] = D$ ( $f[D]$ es la imagen de $D$ a través de $f$ ). Entonces, voy a demostrar que $f(x) \rightarrow \infty $ como $x \rightarrow \infty$ .

Empecemos por suponer $f(x)$ converge a $c \geq 0$ . $$ \forall \epsilon > 0 \ \exists a \in D : \forall x \in D: x > a \implies |f(x) - c | < \epsilon \implies f(x) \leq c + \epsilon $$ Entonces, $a = a(\epsilon)$ . Mientras tanto, por el teorema del valor extremo , $$ \forall a \in D \ \exists b \in D : \forall x \in [0,a] : f(x) \leq b $$ Entonces, $b = b(a)$ . Por lo tanto, tenemos $$ \forall \epsilon > 0 \ \forall x \in D : f(x) \leq \max \{ c + \epsilon, b(a(\epsilon)) \} < \infty $$ por lo que $f[D] \neq D$ , lo cual es una contradicción.

¿Es esto correcto?

Answer 1

No, lo que quieres demostrar es falso, si no asumes también que $f$ es monótona creciente. En efecto, existe una función continua (no monótona) $f \colon D \to \mathbb{R}$ tal que $f[D] = D$ pero $f(x) \not\to \infty$ como $x \to \infty$ . Por ejemplo, considere $$\tag{1} f(x) = e^x |\sin(x)|$$ El $\sin(x)$ da un comportamiento oscilante a $f$ y la amplitud de estas oscilaciones crece como $x \to \infty$ debido a la $e^x$ componente. Como $|\sin(x)| \geq 0$ por cada $x \in \mathbb{R}$ y en particular para cada $x \in D$ tenemos que $f[D] = D$ .

Lo que está mal en su prueba es el primer paso. Usted quiere probar, por contradicción que para toda función continua $f \colon D \to \mathbb{R}$ , si $f[D] = D$ puis $f(x) \to \infty$ como $x \to \infty$ . Entonces, se supone que existe una función continua $f \colon D \to \mathbb{R}$ tal que $f[D] = D$ pero $f(x) \not\to \infty$ como $x \to \infty$ y quieres demostrar que esto lleva a una contradicción. Pero (y este es su error) el hecho de que $f(x) \not\to \infty$ como $x \to \infty$ no implica que $f(x)$ converge a algún $c$ sur $f[D]$ . De hecho, existe la posibilidad de que $f(x) \not\to \infty$ como $x \to \infty$ porque el límite de $f(x)$ como $x \to \infty$ ¡no existe! Y esto es lo que ocurre en la función $(1)$ .

En realidad, tu prueba es correcta pero por otra afirmación: para toda función continua $f \colon D \to \mathbb{R}$ , si $f[D] = D$ entonces es imposible que $f(x)$ converge a $c$ (para cualquier $c \geq 0$ ) como $x \to \infty$ .