Demostrar que $ \frac{1}{x^5} $ no es uniformemente continua en $(0,2)$

Question

Demostrar que $\frac{1}{x^5} $ no es uniformemente continua en $(0,2)$ . Lo intenté poniendo $\epsilon = 1$ pero parece que no puede encontrar $x$ y $x'$ que funcione.

Answer 1

Dejemos que $$x_n=\frac{1}{n}$$ y $$y_n=\frac{1}{n+1}$$

sean dos secuencias de reales en $(0,2)$ .

está claro que $$\lim_{n\to+\infty}(y_n-x_n)=0$$

pero

$$f(y_n)-f(x_n)=(n+1)^5-n^5$$ y $$\lim_{n\to+\infty}(f(y_n)-f(x_n))=+\infty (\ne 0)$$

Podemos concluir que $f$ no es uniformemente continua en $(0,2)$ .

Con $\epsilon$ .

Tome $\epsilon=1$ por ejemplo. entonces para cada $\eta>0$ ,

y muy muy grande $n$ tenemos

$$|y_n-x_n|<\eta$$

porque $$\lim_{n\to+\infty}(y_n-x_n)=0$$ y $$|f(y_n)-f(x_n)|>1$$ porque $$\lim_{n\to+\infty}(f(y_n)-f(x_n))=+\infty$$