Teorema de Cramér - Transformación de Legendre

Question

Considere $X_1, X_2,\dots$ variables aleatorias i.i.d. que se distribuyen geométricamente con el parámetro $\frac 1 2$ . Con la función generadora de momentos de $X_1$ (de Wikipedia ) se obtiene $$\Lambda(t) = \log E[e^{tX_1}] = \log \frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}=-\log(2) + t-\log\left(1-\frac 1 2 e^t\right).$$ Me gustaría saber cuál es la función de la tasa $I(\cdot)$ es sin embargo. En mi libro de texto, tengo esta fórmula $$I(x)=\Lambda^*(x) = \sup_{t\in\mathbb R}\left\{ tx - \Lambda(t) \right\} = \sup_{t\in\mathbb R}\left\{ tx +\log(2) - t+\log\left(1-\frac 1 2 e^t\right) \right\}.$$ Se supone que la solución es (pero no han encontrado la manera de llegar a ella): $$I(x)=x\log x-(1+x) \log\left( \frac{1+x}{2} \right).$$ Si pudiera dar una o dos pistas, me alegraría mucho.

Answer 1

Permítame darle algunos pasos

1. Demuestra que $\Lambda(t)$ es convexo y por lo tanto $tx-\Lambda(t)$ es cóncavo. Por lo tanto, sólo habrá un máximo de $tx-\Lambda(t)$ .

2. Ahora diferenciar $tx-\Lambda(t)$ con respecto a $t$ y expresar $e^t$ en términos de $x$ .

Respuesta al comentario: tu cálculo es correcto pero la confusión se produjo por la definición de distribución geométrica que has utilizado. Utilice la distribución que tiene soporte $\{0,1,2,\ldots\}$ y la función de masa de probabilidad $p_k$ , donde $$p_k = \frac{1}{2^{k+1}} \,\text{ for }\,k=0,1,\ldots.$$
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