Prueba de la secuencia $(a_n) =\frac{\alpha n^2+ \beta n+\gamma}{an^2+bn+c}$ ¿converge?

Question

Estoy tratando de hacer una tarea sobre secuencias y tengo algunos problemas en esta pregunta:

Definir $(a_n) =\frac{\alpha n^2+ \beta n+\gamma}{an^2+bn+c}$ . Sea $a, b, c, \alpha, \beta, \gamma$ sean constantes reales tales que $a, \alpha \neq 0$ y $an^2 + bn + c \neq 0$ , $\forall \in \mathbb{N}$ . Demostrar que $(a_n)$ converge.

Mi problema con esta pregunta es que creo que sí converge a $\frac{\alpha}{a}$ y ambos son diferentes de cero, por creación. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo?

Gracias de antemano.

Answer 1

HINT

Tenemos que

$$a_n =\frac{\alpha n^2+ \beta n+\gamma}{an^2+bn+c}=\frac{\alpha + \beta \frac1n+\gamma\frac1{n^2}}{a+b\frac 1n+c\frac1{n^2}}$$

que es un truco estándar para este tipo de límite para la relación de polinomios $a_n=\frac{p(n)}{q(n)}$ .

Consulte también el apartado

• Cómo encontrar el límite de una función en el infinito

Answer 2

Otra forma de hacerlo, utilizando análisis asintótico un polinomio es asintóticamente equivalente a su término principal, por lo tanto $$\frac{\alpha n^2+ \beta n+\gamma}{an^2+bn+c}\sim_\infty\frac{\alpha n^2}{an^2}=\frac\alpha a.$$

Answer 3

$$\frac{\alpha n^2+ \beta n+\gamma}{an^2+bn+c}-\frac\alpha a=\frac{(a\beta-b\alpha)n+(a\gamma-c\alpha)}{a(an^2+bn+c)}\to0$$

porque el grado del denominador supera al del numerador.

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Tenga en cuenta que esto también funciona cuando $\alpha=0$ (pero no $a=0$ ).

Answer 4

Calculemos la diferencia entre el término genérico de su secuencia y su límite, y mostremos que tiende a $0$ :

$$r_n=a_n-\frac{\alpha}{a} =\frac{\alpha n^2+ \beta n+\gamma}{an^2+bn+c}-\frac{\alpha}{a}$$

( $r_n$ como $n$ ª residual).

$$=\frac{\alpha n^2+ \beta n+\gamma}{an^2+bn+c}-\frac{\alpha}{a}*\frac{n^2+\tfrac{b}{a}n+\tfrac{c}{a}}{n^2+\tfrac{b}{a}n+\tfrac{c}{a}}$$

$$=\frac{\alpha n^2+ \beta n+\gamma}{an^2+bn+c}-\frac{\alpha(n^2+\tfrac{b}{a}n+\tfrac{c}{a})}{an^2+bn+c}$$

$$=\frac{ (\beta-\tfrac{ \alpha b}{a})n+\gamma-\tfrac{\alpha c}{a}}{an^2+bn+c}\tag{1}$$

(porque $a \ne 0$ ) que efectivamente converge a $0$ porque el grado (como máximo $1$ ) del numerador es menor que el grado (2) del denominador.

Editar: Un interés de la expresión (1) es que se puede afirmar, estudiando el signo del equivalente

$$r_n \approx \underbrace{\frac{ (\beta-\tfrac{ \alpha b}{a})}{a}}_C*\frac{1}{n}$$

que (a menos que $C=0$ ), la secuencia $(a_n)$ converge asintóticamente a su límite $\frac{\alpha}{a}$ siendo mayor que su límite o menor que su límite, es decir, teniendo un aumentar o disminuir comportamiento (a largo plazo):

Si $C>0$ , $(a_n)$ es una secuencia asintóticamente decreciente; si $C<0$ es una secuencia creciente.