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Diferencia de los números de Fibonacci

Dejemos que $F$ sea el conjunto de todos los valores posibles de $F_k - F_m$ donde $F_i$ es el $i$ -El número de Fibonacci. ¿Es cierto que $F = \mathbb{Z}$ ?


La verdad es que no sé por dónde empezar. Tuve la idea de pensar en cómo esto podría suceder a medida que los números se hicieron grandes...

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J. W. Tanner Puntos 46

Una pista:

$9$ no es una diferencia de ningún par de $\{1,2,3,5,8,13,21\}$ ,

y las diferencias entre los números de Fibonacci siguientes serán $>9$ .

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Duncan Ramage Puntos 78

No, no hay ningún par de números de Fibonacci cuya diferencia sea 9.

Dejemos que $F_n$ denotan el $n$ número de Fibonacci. Dado que la secuencia de Fibonacci es finalmente estrictamente creciente, si $l < k < m$ tenemos $F_m - F_k < F_m - F_l$ . Esto significa que cualquier diferencia cuyo primer término sea $F_n$ estará acotado por debajo de $F_{n - 2}$ . $F_9 = 34$ y $F_7 = 13$ por lo que basta con comprobar cada emparejamiento de términos antes de $34$ . No hay muchas, y podemos ver que ninguna de las diferencias es $9$ .

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