¿Es posible tener un $f(\vec{r})$ ¿satisfacen esta relación?

Question

Se sabe que: $$ (\nabla^2+k^2)(-\frac{e^{ikr}}{4\pi r})=\delta(\vec{r}) $$ donde $k>0$ y $\delta(\vec{r})$ es el tridimensional Función delta de Dirac .

Mi pregunta es, ¿es posible encontrar una función $f(\vec{r})$ que satisface la siguiente relación: $$ \left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}-(\frac{\partial}{\partial z}+i\alpha)^2-k^2\right] f(\vec{r})=\delta(\vec{r}) $$

Donde $\alpha>0,k>0$ .

Answer 1

Transformando de Fourier su ecuación, puede comprobar que la función $f({\bf r})$ viene dada por $$f({\bf r}) = \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} \frac{e^{i {\bf q} \cdot {\bf r}}}{(q_3+\alpha)^2 - q_1^2 -q_2^2 -k^2 }$$ con ${\bf q} = (q_1,q_2,q_3)$ . Todavía se pueden imponer condiciones de contorno en $f({\bf r})$ que corresponde al desplazamiento de la posición de los polos por debajo o por encima del eje real (aquí, elegiré la función de Green de onda saliente).

El integrando tiene polos en $q_3 = -\alpha \pm \sqrt{k^2 +q_1^2+q_2^2}$ . Realizamos la integral sobre $q_3$ cerrando el contorno en el plano complejo superior y tomando el polo con $+$ dentro del contorno. Obtenemos $$f({\bf r}) = -\frac{i e^{i \alpha r_3}}{2} \int\frac{d^2 q}{(2\pi)^2} \frac{e^{i q_1 r_1 + i q_2 r_2 +i (k^2 + q_1^2 + q_2^2)^{1/2}r_3}}{\sqrt{k^2+q_1^2 + q_2^2}} .$$

Para la integral restante, introducimos $\rho = \sqrt{r_1^2+r_2^2}$ y $q_1 = q \cos \phi, q_2= q \sin\phi$ , donde $\phi$ es el ángulo medido con respecto a $(r_1,r_2)$ . Obtenemos $$\int\frac{d^2 q}{(2\pi)^2} \frac{e^{i q_1 r_1 + i q_2 r_2+i (k^2 + q_1^2 + q_2^2)^{1/2}r_3}}{\sqrt{k^2+q_1^2 + q_2^2}} = \int_0^\infty \!\frac{dq}{2\pi}\,\int_{0}^{2\pi}\!\frac{d\phi}{2\pi}\frac{q e^{iq \rho \cos\phi + i (k^2+q^2)^{1/2} r_3}}{\sqrt{k^2+q^2}}\\=\int_0^\infty \!\frac{dq}{2\pi} \frac{q e^{i (k^2+q^2)^{1/2} r_3} J_0(\rho q)}{\sqrt{k^2+q^2}} = -\frac{i e^{ik (r_3^2 -\rho^2)^{1/2}} }{2\pi \sqrt{r_3^2 -\rho^2}}. $$

Así, obtenemos el resultado final $$ f({\bf r}) =- \frac{ e^{-i \alpha r_3 +ik (r_3^2 -r_1^2-r_2^2)^{1/2}}}{4 \pi\sqrt{r_3^2 -r_1^2-r_2^2}}.$$

Editar:

Existe una alternativa mucho más conceptual para llegar al resultado final. Se obtiene utilizando ideas de continuación analítica. En física también se conoce como Rotación de mechas . Estamos interesados en una solución para $$\left[\partial_1^2+\partial_2^2-(\partial_3+i\alpha)^2-k^2\right] f({\bf r})=\delta({\bf r}).\tag{1}$$ Por comodidad, introducimos primero una nueva función $\tilde f({\bf r}) = e^{-i \alpha r_3} f({\bf r})$ en cuyos términos (1) asume la forma (homogénea) $$ (\partial_1^2+ \partial_2^2 - \partial_3^2 -k^2) \tilde f({\bf r}) =\delta({\bf r}).$$

Estudiemos en cambio la familia de ecuaciones $$(-e^{i\theta}\partial_1^2-e^{i\theta} \partial_2^2 - \partial_3^2 -k^2) g_\theta({\bf r}) = \delta({\bf r}).$$ Para $\theta=0$ tenemos $g_0({\bf r}) =e^{i k |{\bf r}|}/(4\pi |{\bf r}|)$ según la pregunta. Obtenemos $\tilde f$ de $g_\theta$ por continuación analítica como $\theta \uparrow \pi$ o $\theta \downarrow -\pi$ .

Tenemos la relación general $$ g_\theta({\bf r}) = \int\!\frac{d^3q}{(2\pi)^3} \frac{e^{i{\bf q}\cdot{\bf r}}}{q_3^3 + e^{i\theta} (q_1^2 + q_2^2) -k^2}. $$ Introducción de una nueva variable de integración $ \tilde{\bf q}= (e^{i\theta/2}q_1,e^{i\theta/2}q_2,q_3)$ obtenemos la expresión alternativa (aquí hay que tener cuidado de que no haya contribución del arco en el infinito) $$ g_\theta({\bf r}) = e^{-i\theta}\int\!\frac{d^3 \tilde q}{(2\pi)^3} \frac{e^{i\tilde{\bf q}\cdot\tilde{\bf r}}}{\tilde {\bf q}^2 -k^2} =e^{-i\theta}g_0(\tilde{\bf r}) $$ con $$\tilde{\bf r}= (e^{-i\theta/2} r_1,e^{-i\theta/2} r_2 ,r_3).$$ Dejar $\theta \to \pi$ obtenemos el resultado $$ \tilde f({\bf r}) = g_\pi({\bf r}) = -g_0(-i r_1, -i r_2,r_3)= - \frac{e^{i k (r_3^2-r_1^2-r_2^2)^{1/2}}}{4\pi \sqrt{r_3^2-r_1^2-r_2^2}}$$