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Por qué el grupo fundamental de una base actúa trivialmente sobre la homología de la fibra - espacios de configuración

Mi pregunta está relacionada con la respuesta a esta pregunta: https://mathoverflow.net/questions/344491/zero-differential-in-serre-spectral-sequence-for-configuration-spaces

No veo por qué del hecho de que $\pi_1(C_n)\to\pi_1(C_{n-1})$ es un epimorfismo dividido tenemos que la acción de $\pi_1(C_{n})$ en la cohomología de una fibra es trivial. Esto parece una especie de afirmación general: Si en una fibración $F\to E\to B$ existe una sección $B\to E$ entonces la acción del grupo fundamental de $B$ en la cohomología de $F$ es trivial. ¿Es cierto? Y si es así, ¿por qué?

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ronno Puntos 4382

No es cierto en general que si un haz tiene una sección entonces la monodromía en la cohomología de la fibra es trivial. Por ejemplo, un haz vectorial proyectivizado siempre tiene dos secciones ( $0$ y $\infty$ ) pero la monodromía en la cohomología superior (para el rango impar) es trivial si el haz es orientable.

En el caso del paquete $C_n \to C_{n-1}$ no es difícil describir explícitamente la monodromía. La acción sobre $\pi_1(F)$ es por conjugación (¿por qué?) y, por tanto, trivial en $H^1$ . Dado que la fibra es una cuña de círculos esto es todo lo que hay que comprobar.

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