Normalización de la $\gamma$ -matrices

Question

Tengo un poco de dificultad para entender el proceso de normalización del $\gamma$ -matrices.

En Thomson Física de partículas moderna 2013, la normalización de la $\gamma$ -las matrices se citan como:

$$ (\gamma^{\mu})^{\dagger}=\gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0} $$ Donde $\mu=0,1,2,3$ o a veces simplemente $\mu=0, k$ donde, obviamente $k=1,2,3$ . He intentado iniciar este ejemplo dado, pero no estoy seguro de los siguientes pasos. Hasta ahora, tengo:

$$ (\gamma^{0})^{\dagger}=\gamma^{0} $$ $$ (\gamma^{k})^{\dagger}=-\gamma^{k} $$ También sé que $$ (\gamma^{0})^{2}=I\,\,\mathrm{and}\,\,(\gamma^{k})^{2}=-I $$ No estoy seguro de cómo armar esto. Si alguien puede dar un repaso rápido o algunas indicaciones en la dirección correcta, sería excelente.

Answer 1

Mientras estudiaba el $\gamma$ -matrices, también me enfrenté a la misma pregunta. Aquí tal vez una solución sobre esto.

En primer lugar, la convención es la misma: $$(\gamma^{0})^{\dagger}=\gamma^{0}$$ $$(\gamma^{k})^{\dagger}=-\gamma^{k}$$ $$(\gamma^{0})^{2}=I\,\,\mathrm{and}\,\,(\gamma^{k})^{2}=-I$$ Además, aquí se utilizó la ecuación $$\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}=2g^{\mu\nu}I$$ Especialmente, para los $\gamma^{0}$ y $\gamma^{k}$ , $$\{\gamma^{0},\gamma^{k}\}=0$$ Entonces podemos ver, $$(\gamma^{0} \gamma^{k})^{\dagger}=(\gamma^{k})^{\dagger} (\gamma^{0})^{\dagger}$$ y $$\gamma^{0} \gamma^{k}=-\gamma^{k} \gamma^{0}$$ así que $$(-\gamma^{k} \gamma^{0})\dagger=(\gamma^{k})^{\dagger} (\gamma^{0})^{\dagger}$$ $$-\gamma^{0} (\gamma^{k})^{\dagger}=-\gamma^{k} \gamma^{0}$$ $$(\gamma^{k})^{\dagger}=\gamma^{0}\gamma^{k} \gamma^{0}$$ también sabemos que $$(\gamma^{0})^{\dagger}=\gamma^{0}\gamma^{0} \gamma^{0}$$ podemos combinarlos para ver $$(\gamma^{\mu})^{\dagger}=\gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0}$$ Observando que aquí ya hemos seleccionado una representación específica.

Answer 2

• para $(\gamma^0)^2 = I_4$ Así que $(\gamma^0)^\dagger = \gamma^0$ ;
• para $(\gamma^i)^2 = -I_4$ Así que $(\gamma^i)^\dagger = -\gamma^i$

Que: ${\gamma_\mu}^\dagger = \gamma^0\gamma_\mu\gamma^0$