Signo del resto de la serie para $\cos$ y $\sin$

Question

De verdad $y$ , demuestre que cada resto de la serie para $\cos y$ y $\sin y$ tiene el mismo signo que el término principal.

La serie para $\cos x$ es $1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$ . Así que lo que se nos pide que probemos es que la serie $\sum_{i=n}^\infty(-1)^{i}\dfrac{x^{2i}}{(2i)!}$ tiene el mismo signo que $(-1)^{n}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$ . Lo que equivale a $$\sum_{i=0}^\infty(-1)^i\frac{x^{2n+2i}}{(2n+2i)!}>0$$ ¿Cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

Por la paridad de $\cos$ y $\sin$ basta con demostrarlo para $y > 0$ . Tenemos la fórmula de Taylor

$$f(y) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}y^k + \frac{1}{n!} \int_0^y (y-t)^n f^{(n+1)}(t)\,dt$$

para todo lo que sea suficientemente suave $f$ .

Para $\cos$ elegimos $n = 2m$ y obtener

$$\begin{align} \cos y &= \sum_{k=0}^m \frac{(-1)^k}{(2k)!}y^{2k} + \frac{1}{(2m)!}\int_0^y (y-t)^{2m} \cos^{(2m+1)}t\,dt\\ &= \sum_{k=0}^m \frac{(-1)^k}{(2k)!}y^{2k} + \frac{(-1)^{m+1}}{(2m)!} \int_0^y (y-t)^{2m} \sin t\,dt, \end{align}$$

para $\sin$ elegimos $n = 2m-1$ y obtener

$$\begin{align} \sin y &= \sum_{k=0}^{m-1} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1} + \frac{1}{(2m-1)!}\int_0^y (y-t)^{2m-1} \sin^{2m} t\,dt\\ &= \sum_{k=0}^{m-1} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1} + \frac{(-1)^m}{(2m-1)!} \int_0^y (y-t)^{2m-1}\sin t\, dt. \end{align}$$

Así que queda por ver que

$$\int_0^y (y-t)^k \sin t\, dt > 0$$

para todos $y > 0$ y $k > 0$ . Pero eso se deduce ya que $(y-t)^k$ es una función positiva estrictamente decreciente, por lo que mientras $2\pi m \leqslant y$ tenemos

$$\int_{2(m-1)\pi}^{(2m-1)\pi} (y-t)^k\sin t\,dt > (y-(2m-1)\pi)^k\int_0^\pi\sin t\,dt > \int_{(2m-1)\pi}^{2m\pi}(y-t)^k \lvert \sin t\rvert\,dt,$$

y si $y$ no es un múltiplo entero de $2\pi$ la integral de la parte del último período sigue siendo positiva (claro cuando $2m\pi < y < (2m+1)\pi$ por la estimación análoga

$$\begin{align} \int_{2m\pi}^y (y-t)^k\sin t\,dt &= \int_{2m\pi}^{(2m+1)\pi}(y-t)^k\sin t\,dt - \int_{(2m+1)\pi}^y(y-t)^k\lvert\sin t\rvert\,dt\\ &> (y-(2m+1)\pi)^k \int_0^\pi\sin t\,dt - (y-(2m+1)\pi)^k\int_0^{y-2m\pi}\sin t\,dt\\ &> 0 \end{align}$$

cuando $(2m+1)\pi \leqslant y < 2(m+1)\pi$ ).

Answer 2

Este resultado es válido para una serie alterna $\sum (-1)^n a_n$ (o $\sum (-1)^{n+1} a_n$ ) donde $(a_n)$ es una secuencia decreciente a $0$ .

Dejemos que $$s_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^n u_k$$ y $$S=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$$ por lo que podemos ver que la secuencia $(s_{2n})$ es decreciente y la serie $(s_{2n+1})$ es creciente y son convergentes a $S$ por lo que tenemos $$s_{2n+1}\leq S\leq s_{2n+2}\leq s_{2n}$$ por lo que $$u_{2n+1}\leq r_{2n+1}=S-s_{2n}\leq 0\tag{1}$$ y $$0\leq r_{2n+2}=S-s_{2n+1}\leq u_{2n+2}\tag{2}$$ por lo que desde $(1)$ y $(2)$ vemos que el resto $r_n$ tiene el signo del término $u_n$ y que $$|r_n|\leq |u_n|$$