Teorema fundamental del cálculo con múltiples variables

Question

Estoy atascado en esta ecuación multivariable:

$$ \frac{d}{dx}\left(\int^x_af(g(b,t),t)dt\right) $$

donde a y b son sólo constantes.

Si se tratara de una sola variable, parece que sólo habría que aplicar el teorema fundamental del cálculo. ¿Existe un equivalente para múltiples variables?

Sé que la respuesta debería ser simplemente

$$ f(g(b,x),x) $$

pero espero que alguien pueda explicarme / guiarme. ¿Hay tal vez alguna regla que me permite pasar el $\frac{d}{dx}$ en la integral?

Gracias

Answer 1

La función bajo la integral puede verse como una función de una variable $t$ y entonces el teorema fundamental se aplica directamente. Es decir, si definimos $h(t) = f(g(b,t),t)$ entonces $$\frac{d}{dx}\int_a^x h(t) \, dt = h(x),$$ y si desenrollamos la definición esto es dice que $$\frac{d}{dx}\int_a^x f(g(b,t),t) \, dt = f(g(b,x),x).$$

Answer 2

En realidad, esto no necesita múltiples variables, y podría deducirse de la variable única FTC. Tampoco se quiere pasar el límite dentro de la integral ya que el límite de integración depende de $x$ (de la que intentas tomar el límite).

Recordemos que si tenemos una función de una sola variable $h(t)$ entonces:

$$\dfrac{d}{dx} \int_a^x h(t)dt=h(x) $$

en su caso, para el fijo $b$ , toma $h(t)=f(g(b,t),t)$ . Fíjate en que se trata de una función de una sola variable. El hecho de que sea en realidad una composición de dos funciones de una sola variable y que haya una constante extra $b$ no cambia el hecho de que sigue siendo una función de una sola variable y, por tanto, el análisis anterior sigue siendo válido:

$$\dfrac{d}{dx} \int_a^x h(t)dt=h(x) \implies \dfrac{d}{dx} \int_a^x f(g(b,t),t)dt=f(g(b,x),x)$$