¿Cuál es la pdf de una distribución normal dividida por la raíz cuadrada de una log-normal sobre n?

Question

Sabemos que si $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ , $W \sim \chi^2(n)$ y se distribuyen independientemente, entonces la variable $Y = \frac{Z}{\sqrt{W/n}}$ sigue un $t$ -con grados de libertad $n$ . Ahora me pregunto, si $X$ es un logaritmo normal como $X \sim \log\mathcal{N}(a,b)$ y es independiente de $Z$ ¿Qué es? $Y = \frac{Z}{\sqrt{X/n}}$ ?

Sé que existe esta respuesta pero muestra el pdf de $Y = \frac{Z}{X}$ . Puede alguien basarse en esto para responder a mi pregunta. Gracias.

Answer 1

Podemos manipular $Y$ para ayudarnos aquí. La primera nota que podemos reescribir $Y$ como

$$Y = \frac{n^{1/2}Z}{X^{1/2}}$$ y porque $Z\sim N(0,1)$ entonces $n^{1/2}Z \sim N(0, n)$ .

Ahora sabemos $X \sim \log N(a, b)$ . Por la definición de la log-normal tenemos $\log(X) \sim N(a, b)$ . Utilizando las leyes logarítmicas estándar tenemos $\log(X^{1/2}) = \frac{1}{2} \log(X)$ así $\log(X^{1/2}) \sim N(\frac{a}{2}, \frac{b}{4})$ .

Así que por la definición de la log-normal tenemos $\sqrt{X} \sim \log N(\frac{a}{2}, \frac{b}{4})$ .

Así que porque $Y$ puede expresarse en realidad como el cociente entre un VR normal y un VR logarítmico-normal, puede aplicarse simplemente el resultado de la pregunta referida utilizando la representación anterior de $Y$ .