Una descomposición única de un elemento en elementos irreducibles, no todos ellos primos

Question

Dejemos que $D$ sea un dominio integral noetheriano que no sea un UFD. Ser noetheriano garantiza que cada elemento no invertible no nulo $d \in D$ puede escribirse como un producto de elementos irreducibles de $D$ , ver esta pregunta Por supuesto, este producto no es necesariamente único (por ejemplo, $(1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)=4=2 \cdot 2$ ).

No es difícil demostrar que si algún elemento $d \in D$ puede escribirse como un producto de elementos primos de $D$ entonces este producto es único (si $d=p_1 \cdots p_m= u_1 \cdots u_n$ , donde el $p_i$ son primos y el $u_i$ son irreducibles, entonces utiliza la primalidad de cada $p_j$ y el hecho de que $D$ es un dominio integral).

Deseo encontrar un dominio integral noetheriano $D$ y un elemento $d \in D$ tal que $d= v_1 \cdots v_l$ es único, $v_1 \ldots, v_l$ son irreducibles, con al menos uno de los $v_j$ no es el primero. (Por lo tanto, la inversa del hecho anterior no es cierta). ¿Me he perdido algún ejemplo fácil? (probablemente). ¿Y si eliminamos la suposición de que $D$ es noetheriano?

(Observación: Si algunos de los $v_j$ son primos, entonces deben aparecer en cada descomposición de $d$ pero aquí este hecho no es relevante, puesto que ya he asumido que $d$ tiene una descomposición única).

Answer 1

Creo que puedes utilizar el ejemplo que consideras en tu post, es decir $D = \mathbb{Z}[i \sqrt{3}]$ . Consideremos la factorización $$w = 2 \cdot (1 + i\sqrt{3}).$$ El elemento genérico de nuestro dominio es $z=a + i \sqrt{3} b$ donde $a,b \in \mathbb{Z}$ y esto tiene valor absoluto al cuadrado $|z|^2 = a^2 + 3b^2$ . Sólo algunos enteros positivos tienen esta forma, y podemos, con un poco de trabajo, escribir todos los $z$ con un determinado valor absoluto al cuadrado.

Supongamos que se factoriza $w$ en irreducibles $w = z_1 \cdots z_n$ . Entonces debemos tener $|z_1|^2 \cdots |z_n|^2 = 16$ . Esta restricción sólo deja un número finito de posibilidades para $z_1,\ldots,z_n$ (Tenga en cuenta, en particular, que cualquier $z_i$ con $|z_i|^2 = 1$ es una de las dos unidades $\pm 1$ ). Un poco de trabajo de campo debería permitirte concluir que la anterior factorización de $w$ en irreducibles es única, hasta las unidades.

Sin embargo, ninguno de los dos $2$ ni $1+i\sqrt{3}$ es primordial, como se desprende de su puesto.