¿Es cierto que $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2+2an+b}\in \Bbb Q \iff \exists k\in \Bbb N^+$ tal que $a^2-b=k^2 $ ?

Question

Esta es una pregunta de curiosidad:

Pregunta Dados dos enteros positivos $a$ y $b$ tenemos la siguiente equivalencia: $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2+2an+b}\in \Bbb Q \iff \exists k\in \Bbb N^+\text{ such that } a^2-b=k^2\ ?$$

Mi intento

• $(\Leftarrow)$ Supongamos que $a^2-b=k^2$ ave $k>0$ entonces : $$\begin{align}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2+2an+b}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^2-k^2}\\ \\ &=\frac{1}{2k}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n+a-k}-\frac{1}{n+a+k}\right)\\ \\ &=\frac{1}{2k}\sum_{i=0}^{2k-1}\frac{1}{i+a-k} \end{align}$$
• $(\Rightarrow)$ No sé cómo enfocar esta implicación, pero sé por ejemplo que si $a^2-b=0$ y luego usando la suma: $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^2}=\frac{\pi^2}{6}-\sum_{i=1}^{a-1}\frac{1}{i^2}\notin \Bbb Q $$

Cómo puedo enfocar la segunda implicación, ni siquiera sé si es cierta o no pero parece que cuando $\sqrt{a^2-b}\in \Bbb N$ que la implicación sea cierta, por ejemplo no sé cuál sería el valor de $$\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{(n-a)^2+3} \text{ or } \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(n-a)^2-3}.$$

Answer 1

Tenemos $$\sum \frac{1}{n^2+2an+b}=\sum\frac{1}{(n+a)^2+b-a^2}$$

Podemos suponer que la suma es $$\sum\frac{1}{n^2+k}$$ donde $k$ no es un cuadrado.

Para $k$ no es un cuadrado esta suma depende linealmente de $1$ y $$\sqrt{k}\pi\cosh(\sqrt{k}\pi)$$ o $$\sqrt{k}\pi\cot(\sqrt{k}\pi)$$ sobre los racionales.

No estoy seguro de que se sepa si $e^{\sqrt{k}\pi}$ o $e^{i\sqrt{k}\pi}$ es racional.