Me gustaría saber cuáles son los tres primeros grupos de homotopía del grupo conforme SO(4,2): $$ \pi_n(SO(4,2))=? \quad n=1,2,3 $$
Respuestas
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Según ncatlab el subgrupo compacto máximo de (el componente conectado de) $SO(4,2)$ es $SO(4)\times SO(2)$ . Cualquier grupo de Lie conectado se retrae en su subgrupo compacto máximo, por lo que su pregunta es sobre $SO(4)\times SO(2)$ .
Desde $SO(2)$ es sólo un círculo, tenemos $\pi_n(SO(2))=\mathbb{Z},0,0,\ldots$ .
$SO(4)$ es un grupo semi-simple, $SO(4)\simeq (SU(2)\times SU(2))/\mathbb{Z_2}$ por lo que es fácil calcular los primeros grupos de homotopía.
En efecto, porque la segunda homotopía de cualquier grupo simple es trivial, y la tercera es $\mathbb Z$ tenemos $\pi_2(SO(4))=0$ y $\pi_3(SO(4))=\mathbb{Z}^2$ (para $n>4$ , $\pi_3(SO(n))=\mathbb{Z}$ desde entonces $SO(n)$ es realmente sencillo).
El grupo fundamental de $SO(n)$ , $n\geq 3$ es $\mathbb{Z}_2$ como puede verse en este caso concreto a partir del isomorfismo anterior.
Así, encontramos finalmente (para la componente conectada) $$ \pi_n(SO(4,2))=\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z},0,\mathbb{Z}^2,\mathbb{Z}_2^2,\mathbb{Z}_2^2,\mathbb{Z}_{12}^2,\ldots, $$ o más generalmente para $n>1$ $$ \pi_n(SO(4,2))=\pi_n(SU(2))\times \pi_n(SU(2))=\pi_n(S^3)\times \pi_n(S^3), $$ donde los grupos de homotopía de las esferas pueden ser encontrado en Wikipedia . Nótese que no conocemos todos los grupos de homotopía de $S^3$ en toda su generalidad, como señala Mariano en los comentarios.
Edición: arreglado el 3er grupo de homotopía y añadido la relación general a $S^3$ .
Lawrence B. Crowell
Puntos
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El grupo $SO(n) \subset SO(n+1)$ por un $n-1$ -mapa conectado. En consecuencia, para $k < n-1$ $\pi_k(O(n+1)) = \pi_k(O(n))$ . Estoy euclidando $SO(4,2) \rightarrow SO(6)$ y sin considerar por el momento los aspectos hiperbólicos. Por lo tanto, todo lo que tenemos que considerar es el grupo fundamental $\pi_1(SO(4,2))$ El fibrado de Serre $$ SO(n) \rightarrow SO(n+1) \rightarrow SO(n+1)/SO(n) \sim S^n $$ da la secuencia de homotopías $$ \pi_k(SO(n)) \rightarrow \pi_k(SO(n+1)) \rightarrow \pi_k(SO(n+1)/SO(n)) $$ tiene $\pi_k(S^n) = 0$ esto demuestra la igualdad. A continuación diré que se sabe que el grupo fundamental de las álgebras de Lie es abeliano.
Para continuar con esto, siento haber tenido que postear debido a la interrupción, ahora apelo a la periodicidad de Bott. Ahora uso el hecho del teorema de la periodicidad de Bott que $\pi_k(Sp) = \pi_{k+4}(O)$ . Ahora podemos centrarnos en $\pi_1(sp(2))$ y el conocimiento de que $sp(2) \sim U(1)$ . La homotopía es abeliana, lo que significa que es igual a su grupo de homología, que para el círculo es $\mathbb Z$
En cuanto a no ir a la hiperbólica, en los problemas de física se mira primero el caso euclidiano.
