¿Cuándo $P(A|B) = P(B|A)$ ?

Question

Si A y B son eventos, ¿cuándo $P(A|B) = P(B|A)$ ?

Si no es siempre cierto, por favor proporcione un contraejemplo, ya que yo no puedo.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario. Casi nunca son iguales. De hecho $$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)}\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B\mid A) \frac{P(A)}{P(B)}$$ por lo que serán iguales si y sólo si $P(A) = P(B)$ o $P(A\cap B) = 0$ .

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Supongo que esta pregunta viene de la confusión sobre la definición de $P(A\mid B)$ . Es la probabilidad de que un evento $A$ ocurre dado que sabemos que otro evento $B$ se produce.

Por ejemplo, si $A$ es el caso de que ruede un $4$ con regularidad $6$ -dados de lado, y $B$ es el caso de que el número que saque sea par, entonces $P(A\mid B)$ es la probabilidad de que saque un $4$ dado que sé que mi tirada fue pareja; mi tirada puede ser una de $2,4$ y $6$ así que la respuesta es $\frac 13$ .

Por ello, para que $P(A\mid B)$ y $P(B\mid A)$ para ser iguales tendría que haber una relación extraña entre $A$ y $B$ - o bien las probabilidades de que se produzcan los acontecimientos tendrían que ser iguales, o bien necesitaríamos $P(A\mid B) = P(B\mid A) = 0$ .

Answer 2

Usted tiene $$P(A|B) = {P(A\cap B)\over P(B)},$$ y $$P(B|A) = {P(A\cap B)\over P(A)}.$$ ¿Qué pasa cuando se ponen estos iguales?

Answer 3

Tiene una identidad general que $P(A|B)P(B)=P(A\cap B)=P(B|A)P(B)$ .

Contraejemplo a $P(A|B)=P(B|A)$ El resultado es que se lanza un dado normal una vez, y se deja $A$ sea el caso del aterrizaje $2$ y $B$ en caso de obtener un número par. Entonces, $P(A|B)=\frac{1}{3}$ mientras que $P(B|A)=1$ .

Answer 4

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ .

Ahora haz lo mismo con $P(B|A)$ y los puso en igualdad de condiciones. ¿Qué puedes decir?