Cuestión básica en la teoría de la medida

Question

Si $A$ et $B$ son conjuntos medibles con $\mu(A) < \mu(B)$ y $P \subset A$ , $Q \subset B$ son conjuntos medibles con $\mu(P) = \mu(Q)$ ¿es cierto que $\mu(A-P) < \mu(B-Q)$ ? Parece que esto debería ser cierto intuitivamente, pero no estoy seguro de la prueba.

Answer 1

Una pista: $\mu(A - P) + \mu(P) = \mu(A) \lt \mu(B) = \mu(B - Q) + \mu(Q)$ .

Answer 2

Una medida es $\sigma$ -aditivo, y en particular aditivo: si $X$ et $Y$ son medibles y disjuntos, entonces $\mu(X\cup Y) = \mu(X)+\mu(Y)$ (en el sentido real ampliado). Así que tienes $$\mu(A) = \mu(P\cup (A-P)) = \mu(P)+\mu(A-P)$$ y $$\mu(B) = \mu(Q\cup(B-Q)) = \mu(Q)+\mu(B-Q)$$

Desde $\mu(A)\lt\mu(B)$ entonces $\mu(A)$ es finito, por lo que también lo es $\mu(P)$ por lo que también lo es $\mu(Q)$ así que desde $\mu(P)+\mu(A-P)\lt \mu(Q)+\mu(B-Q)$ et $\mu(P)=\mu(Q)$ se puede deducir que $\mu(A-P) \lt \mu(B-Q)$ como se desee (basta con restar $\mu(P)$ de ambos lados de la desigualdad, ya que es una cantidad finita).