¿En qué condiciones se $$\sum_{n\ge0}a_nx^n\ge\sum_{n\ge0}b_nx^n\Rightarrow a_n\ge b_n,\qquad x>0\tag1$$ ¿Es cierto?
Contexto: Estaba tratando de demostrar que el número de divisores de $n$ de la forma $4k+1$ era mayor o igual que el número de divisores de $n$ de la forma $4k+3$ y se me ocurrió hacerlo comparando las funciones generadoras $$f_{4,1}(q)=\sum_{n\ge0}\frac{q^{4n+1}}{1-q^{4n+1}},$$ y $$f_{4,1}(q)=\sum_{n\ge0}\frac{q^{4n+3}}{1-q^{4n+3}}.$$ Aquí, $f_{4,i}$ es la función generadora del número de divisores de $n$ en la forma $4k+i$ , $i=1,3$ . Era bastante fácil demostrar que $f_{4,1}(q)>f_{4,3}(q)$ para $0<q<1$ , pero estaba teniendo problemas para usar eso para mostrar $[q^n]f_{4,1}(q)\ge [q^n]f_{4,3}(q)$ .
Reflexiones sobre el problema hasta ahora: En cierto modo tiene sentido intuitivamente, pero está claro que sólo funciona en determinadas situaciones. Una de esas condiciones es que las sumas parciales satisfagan la desigualdad $$\sum_{n=0}^{m}a_nx^n\ge \sum_{n=0}^{m}b_nx^n$$ para todos los enteros $m\ge0$ . Si este es el caso, $$\begin{align} \sum_{n=0}^{m}a_nx^n&\ge \sum_{n=0}^{m}b_nx^n\\ \Rightarrow \sum_{n=0}^{m}a_nx^n-\sum_{n=0}^{m-1}a_nx^n&\ge \sum_{n=0}^{m}b_nx^n-\sum_{n=0}^{m-1}b_nx^n\\ \Rightarrow a_mx^m&\ge b_mx^m\\ \Rightarrow a_m&\ge b_m. \end{align}$$ Por supuesto que eso funciona, pero creo que hay otras formas menos restrictivas. Podría haber una forma de hacerlo tratando $A(x)=\sum_n a_nx^n$ et $B(x)=\sum_n b_nx^n$ como expansiones de Taylor, pero no estoy muy seguro de que eso funcione.
¿Se te ocurre algo? Gracias :)
EDIT: Al parecer, algunos consideran que mi pregunta es poco clara. No estoy buscando una forma diferente de demostrar que el número de $4k+1$ divisores es al menos el número de $4k+3$ divisores.
¿Qué restricciones, si las hay, debemos poner en las funciones $A(x),B(x)$ con el fin de garantizar que $$A(x)\ge B(x)\Rightarrow [x^n]A(x)\ge [x^n]B(x),\qquad x>0$$ ¿es cierto?
