Cómo construir un ejemplo de Partición definida

Question

Supongamos que $ m \geq n \geq 1$ son dos enteros. Una ordenada $n$ -pareja de enteros $ \pi = (m_{1}, \dots , m_{n})$ , $ m _{i} \geq 1$ se llama $n$ -partición de $m$ si $ m_{1}+ \dots m_{n} = m$ . El conjunto de todas estas particiones se denomina $\Pi (m,n)$ .

Pregunta 1: ¿Cómo podemos demostrar que una partición $ \pi \in \Pi(m,n)$ determina una correspondencia unívoca entre los conjuntos $ \{ 1 , \dots , m \}$ et $\{ (i,j) | i=1, \dots , n , j=1, \dots ,m_{i} \}$ ?

Pregunta 2: Para dos particiones $ \tau = (p_{1} , \dots, p_{m} ) \in \Pi (p,m)$ , $\pi \in (m_{1} , \dots , m_{n}) \in \Pi (m,n)$ entonces $\tau \pi$ se define $ \tau \pi \in \Pi(p,n)$ de forma natural: $$ \tau \pi = ( p_{1}+ \dots + p_{m_{1}}, p_{m_{1}+1}+ \dots + p_{m_{1}+ m_{2}}, \dots , p_{m-m_{n+1}} + \dots + p_{m})$$ . Estoy confundido con la definición del producto, ¿puede darme un ejemplo?

Answer 1

En primer lugar, una partición es algo más que una tupla ordenada porque queremos decir que $1 + 2 = 3$ et $2 + 1 = 3$ son la misma partición de $3$ . Una forma de hacerlo es exigir que la tupla sea decreciente. Así que escribiríamos esta tupla como $(2,1)$ y no $(1,2)$ . Es posible que sea esto lo que quieras decir con tupla "ordenada" pero el término "tupla ordenada" significa que, por ejemplo, $(1,2) \ne (2,1)$ (es decir, el orden importa, pero para las particiones queremos que el orden no importe). Con esta aclaración fuera del camino, vamos a discutir sus preguntas.

P1: Considere la partición $7 + 5 + 5 + 2 + 1 + 1 = 21$ . Entonces podemos asociar a esto el siguiente diagrama:

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Donde la fila inferior tiene 7 asteriscos, la siguiente 5, luego 5, luego 2, luego 1, luego 1. Si damos estas coordenadas, entonces la fila inferior es $(1,1),(1,2),\dots,(1,7)$ y el siguiente $(2,1),(2,2),\dots,(2,5)$ . Creo que la imagen aquí es lo suficientemente clara, pero avísame si todavía estás confundido.

P2: Lo que ocurre aquí es que estás particionando una partición con una segunda partición. Por ejemplo, con la partición $\tau = (7,5,5,2,1,1)$ arriba y un tabique $\pi = (3,2,1)$ estamos viendo

$$ (7 + 5 + 5) + (2 + 1) + (1) = 21 $$

donde agrupamos según $\pi$ . Entonces, combinando los términos entre paréntesis, obtenemos la partición

$$ \tau\pi : 17 + 3 + 1 = 21. $$