reordenación de una fórmula (regula falsi)

Question

Me han dicho

$$ \frac{f(b)}{f(a)}=\frac{c-b}{c-a} \tag 1$$

que debería darme

$$ c= \frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)} \tag 2$$

o bien

$$ c= a + \frac{f(a)(a-b)}{f(b)-f(a)} \tag 3$$

Pero cada vez que reordeno la primera ecuación obtengo

$$ c= \frac{bf(a)-af(b)}{f(a)-f(b)} \tag 4$$

y no estoy seguro de cómo obtener la tercera ecuación.

¿Podría alguien explicarlo, por favor?

Answer 1

Nota: esta es una respuesta a una versión anterior de la pregunta, en la que había un error tipográfico. En ese momento, decía " $f(a)/f(b) = \frac{c-b}{c-a}$ ", para lo cual la respuesta de abajo es, creo, correcta.

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Deberías conseguir $c(f(a) - f(b)) = b f(b) - a f(a)$ . O has copiado mal, o tu libro/profesor está equivocado, o mi álgebra está muy equivocada.

Básicamente, se multiplica por el denominador común para obtener

$$ (c-a) f(a) = (c-b) f(b) $$ Ampliar para obtener $$ c f(a)- af(a) = c f(b) - b f(b) $$ Cambia los lados por algunos términos para obtener $$ c f(a)- cf(b) = a f(a) - b f(b) \\ c (f(a)- f(b)) = a f(a) - b f(b) \\ c = \frac{a f(a) - b f(b)}{f(a)- f(b)} $$

Tenga en cuenta que el $ab$ términos han $a f(a)$ et $b f(b)$ no $a f(b)$ et $b f(a)$ .

Si la ecuación original tuviera $f(b)/f(a)$ a la izquierda, creo que todo se solucionaría, sin embargo.

Answer 2

He añadido esto para poder seleccionar una respuesta, la solución fue proporcionada por Git Gud como un comentario.

Para pasar de (4) a (2), multiplique ambos lados por $ \frac{-1}{-1} $ . En el lado izquierdo, esto es lo mismo que la multiplicación por 1, por lo que se mantiene igual, en el lado derecho cambia según sea necesario.

Para pasar de (2) a (3) hay que tener en cuenta que

$$ c= a + \frac{f(a)(a-b)}{f(b)-f(a)} = \frac{a(f(b)-f(a))}{f(b)-f(a)} + \frac{f(a)(a-b)}{f(b)-f(a)}\tag 1$$