Encontrar una base para un espacio vectorial

Question

Dejemos que $ W = \left \{\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} : x_1 + x_2 + x_3 = 0 \right\}$ y encontrar una base para $W$

Realmente no sé cómo hacerlo por suposición, así que probé este método:

Resolver $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ a la forma escalonada (en la que ya está) y así obtenemos la solución $ \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_2 -x_3 \\x_2 \\x_3 \end{pmatrix}$

entonces utiliza un método simple para encontrar la matriz, deja que $x_2 = 1$ y $x_3 = 0$ que nos da $\begin{pmatrix} -1 \\1 \\0 \end{pmatrix}$ y que $x_3 = 1$ y $x_2 = 0$ dando $\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$ por lo que la base es $\left \{\begin{pmatrix} -1 \\1 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \right\}$

¿Es este un método válido, ya que no me gustan las adivinanzas (que mi profesor dijo que hiciéramos)? He probado y es una base para el espacio vectorial $W$

gracias

Answer 1

Lo que has hecho, es que has definido el mapa $$\begin{eqnarray}\Bbb R^2 &\rightarrow& \Bbb W \\ \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix} &\rightarrow& \begin{pmatrix} -x_1-x_2 \\ x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\end{eqnarray}$$ (O cualquier campo base con el que esté trabajando).

Es fácil demostrar que se trata de un isomorfismo. Por lo tanto, envía una base de $\Bbb R^2$ a una base de W. Si estás familiarizado con el isomorfismo creo que esto puede ser más fácil de demostrar que comprobar directamente que algo es una base de $W$ .

Answer 2

Aquí tienes una pista para saber si estás haciendo lo correcto.

Se parte de un espacio tridimensional. Cada independiente La restricción (ecuación) reducirá la dimensión en 1. Así que en tu problema, el espacio es de dimensión 2. Como tienes dos vectores linealmente independientes y satisfacer la restricción, sabes que tienes la respuesta.

En general, este método suele funcionar. Si sabe que la dimensión baja por $k$ Elige cualquiera $k$ variables y llamarlas variables dependientes y las restantes variables independientes. Ahora revisa las variables independientes y establece un de ellos cero y el resto cero. Ahora resuelve para las variables dependientes. Repite seleccionando cada variable independiente de una en una.

Si no puedes resolver la variable independiente debido a la dependencia lineal, entonces elija otro conjunto de variables dependientes. Si puede reducir las restricciones a la forma fila-echelón, entonces las variables que aparecen exactamente en una ecuación, se convierten en la variable dependiente. Asegúrese de elegir una variable de cada ecuación después de descartar las ecuaciones que es idéntica a cero.

Espero que esto largo la explicación ayuda

Answer 3

De manera similar a lo que hiciste... Deja $x_1=-x_2-x_3$ . Esto garantiza que $x_1+x_2+x_3=0$ . Está claro que $(-x_2-x_3)+x_2+x_3 = 0$ . Ahora $(x_1,\space x_2,\space x_3) = (-x_2-x_3,\space x_2,\space x_3)$ . Después de esto, sólo hay que emparejar cada variable con su respectivo coeficiente. Obsérvese que no hay $x_1$ por lo que ya podemos ver que la base tendrá $2$ vectores - los coeficientes de $x_2$ y $x_3$ . $$(x_1,\space x_2,\space x_3)= (-x_2-x_3,\space x_2,\space x_3)= x_2(-1,\space 1,\space 0) + x_3(-1,\space 0,\space 1)$$

Por lo tanto, una base para $W$ est $$\left \{\begin{pmatrix} -1 \\1 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \right\}$$