Determinar la distribución de la variable aleatoria $Y=\sum_{k=1}^{\infty}kX_k$

Question

Arreglar $p \in (0,1)$ y considerar variables aleatorias de Poisson independientes $X_k$ , $k \geq 1$ con $\mathbb E[X_k]=\frac{p^k}{k}$ . Compruebe que la suma $\sum_{k=1}^{\infty}kX_k$ converge con probabilidad uno y determinar la distribución de la variable aleatoria $Y=\sum_{k=1}^{\infty}kX_k$ .

Entonces, por el teorema de las dos series de Kolmogrov, puedo mostrar la convergencia casi segura, pero cómo calcular la distribución de $Y$ ?

Gracias.

Answer 1

tl;dr: mirar la función característica, invocar la independencia de los sumandos para obtener un producto de funciones características, calcular la expresión de forma cerrada y, finalmente, entrecerrar los ojos ante la expresión resultante para reconocer una función característica conocida.

(Este es un buen método siempre que se tenga una v.r. definida como la suma de v.r. independientes (posiblemente ponderadas) "bonitas" con distribuciones simples).

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Detalles: Consideremos la función característica: para $t\in\mathbb{R}$ , $$ \mathbb{E} e^{itX} =\mathbb{E} \exp\left(\sum_{k=1}^\infty itk X_k\right) =\mathbb{E} \prod_{k=1}^\infty e^{itk X_k} \operatorname*{=}_{(1)} \prod_{k=1}^\infty \mathbb{E} e^{itk X_k} \operatorname*{=}_{(2)} \prod_{k=1}^\infty \exp\left(\frac{p^k}{k}\left(e^{itk}-1\right)\right) $$ donde (1) es por independencia, y (2) de la expresión de la función característica de un $\operatorname{Poisson}\left(\frac{p^k}{k}\right)$ r.v.

A partir de ahí, para cualquier $t\in\mathbb{R}$ , $$ \mathbb{E} e^{itX} = \prod_{k=1}^\infty \exp\left(\frac{p^k}{k}\left(e^{itk}-1\right)\right) = \exp\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{p^k}{k}\left(e^{itk}-1\right)\right) = \exp\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{(pe^{it})^k}{k} - \sum_{k=1}^\infty \frac{p^k}{k}\right) $$ y utilizando el hecho de que, para $a\in\mathbb{C}$ satisfaciendo $\lvert a\rvert < 1$ tenemos $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{a^k}{k} = -\ln(1-a) \tag{$ \N - Puñal $} $$ obtenemos $$ \mathbb{E} e^{itX} = \exp\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{(pe^{it})^k}{k} - \sum_{k=1}^\infty \frac{p^k}{k}\right) = \exp\left(- \ln(1-pe^{it}) + \ln(1-p)\right) = \frac{1-p}{1-pe^{it}} $$ que resulta ser la expresión de la función característica de un R.V. geométrico con el parámetro $1-p$ (o, de forma equivalente, y un poco más artificiosa, de un Binomio negativo con parámetros $1$ y $p$ ).