La ecuación funcional $f(x)+f(y)+f(z)+f(x+y+z)=f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)$

Question

Cómo encontrar todas las funciones continuas $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f(x)+f(y)+f(z)+f(x+y+z)=f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)$

Answer 1

Primero utilizamos las diferencias divididas para mostrar que $f$ es tres veces diferenciable. De hecho, la continuidad no es necesaria. Sea $$ \delta_h f(x)=f(x+h)-f(x). $$ Entonces, escribiendo la ecuación funcional con $x$ sustituido por $x+h$ y restando de ella la ecuación original, obtenemos $$ \delta_hf(x)+\delta_hf(x+y+z)=\delta_hf(x+y)+\delta_hf(z+x). $$ Ahora haciendo lo mismo con $y$ y posteriormente con $z$ obtenemos $$ \delta_\ell\delta_k\delta_hf(x)=0, $$ para todos $h,k,\ell\in\mathbb{R}$ y $x\in\mathbb{R}$ . En particular, existe el siguiente límite $$ \delta_k\delta_hf'(x)=\lim_{\ell\to0}\frac{\delta_\ell\delta_k\delta_hf(x)}{\ell}=0. $$ Procediendo de forma similar, concluimos que $f'''(x)$ existe y es igual a $0$ en todas partes.

Esto significa que $f$ es de la forma $$ f(x)=ax^2+bx+c. $$ A continuación, simplemente comprobamos si cada uno de $1,x$ y $x^2$ satisface la ecuación funcional, y concluir que la solución general es $$ f(x)=ax^2+bx. $$

Answer 2

Todas las soluciones continuas son de la forma $f(x) = a x + b x^2$ .

Para un determinado $z$ , dejemos que $g(x) = f(x+z) - f(x) - f(z)$ . La ecuación funcional se convierte en $g(x+y) = g(x) + g(y)$ . Esta es la ecuación funcional de Cauchy, y se sabe que su únicas soluciones continuas son $g(x) = c x$ . Por supuesto $c$ puede depender de $z$ . Ahora tenemos que resolver $f(x+z) - f(x) - f(z) = c(z) x$ . Como el lado izquierdo es simétrico en $x$ y $z$ , $c(z) x = c(x) z$ Así que $c(z) = k z$ para alguna constante $k$ . Tomando $z=-x$ y utilizando $f(0)=0$ obtenemos $- f(x) - f(-x) = - k x^2$ o $f(x) + f(-x) = k x^2$ .

Tenga en cuenta que si $f(x)$ es una solución de nuestra ecuación, también lo es $f(-x)$ y por linealidad también lo son las partes pares e Impares $ (f(x) + f(-x))/2$ y $(f(x) - f(-x))/2$ . Por lo tanto, basta con considerar los dos casos $f$ incluso y $f$ impar.

Si $f$ está en paz, $f(x) + f(-x) = 2 f(x) = k x^2$ Así que $f(x) = (k/2) x^2$ .

Si $f$ es impar, $f(x) + f(-x) = 0$ así que $k=0$ . ahora tenemos $f(x+z) - f(x) - f(z) = 0$ que es de nuevo la ecuación funcional de Cauchy, y así $f(x) = a x$ para alguna constante $a$ .

Answer 3

Considera la izquierda y la derecha como funciones de tres variables.

1. Toma $\partial / \partial x$ de ambos lados (manteniendo la regla de la cadena cuando sea necesario):

$$ f'(x) + f'(x+y+z) = f'(x+y) + f'(z+x) $$

1. Toma $\partial / \partial y$ de ambos lados del resultado:

$$ f''(x+y+z) = f''(x + y) $$

1. Toma $\partial / \partial z$ de ambos lados de eso:

$$ f'''(x+y+z) = 0 $$

Ahora sustituye $y=z=0$ para encontrar que $f'''(x)=0$ . Esto demuestra que las únicas funciones posibles serían de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ para las constantes $a, b, c$ . A continuación, aplique la observación de Robert (véase el comentario anterior) de que $f(0) = 0$ (por lo tanto $c=0$ ), y que el conjunto de funciones forman un espacio lineal (por lo tanto, todas las elecciones de $a, b \in \mathbb{R}$ son válidos).

Espero que esto ayude.

Answer 4

Dejemos que $f: \mathbb R \to \mathbb R$ sea una solución continua de la ecuación funcional y que $g(x) := ax^2+bx$ donde $a$ y $b$ se eligen de tal manera que $f(-1) = g(-1)$ y $f(1) = g(1)$ . Entonces $\tilde f := f-g$ también es una solución y tenemos $\tilde f(-1) = \tilde f(1) = 0$ . Mostraremos $\tilde f \equiv 0$ para que $f = g$ .

Sustituyendo $f$ con $\tilde f$ manera puede asumir que $f$ es una solución con $f(-1) = f(1) = 0$ y mostraremos $f \equiv 0$ . Sea $Z = \{x \in \mathbb R: f(x) = 0 \}$ . A priori tenemos $\{-1,+1\} \subseteq Z$ . Enchufando $(1,-1,x)$ en la ecuación funcional da como resultado $$f(x) = \frac{f(x+1) + f(x-1)}{2},$$ lo que implica $\mathbb Z \subseteq Z$ . Si podemos mostrar $$2x,x \in Z \Rightarrow \frac{x}{2} \in Z$$ hemos terminado ya que entonces toda diada racional $a/2^n$ está en $Z$ y estos son densos en $\mathbb R$ (aquí la continuidad de $f$ es necesario). Así pues, dejemos que $2x \in Z$ y $x \in Z$ . Enchufe $(\frac{x}{2},\frac{x}{2},x)$ en la ecuación funcional para obtener $$2f\left(\frac{x}{2}\right) + f(x) + f(2x) = f(x) + 2f\left(\frac{3}{2}x\right),$$ por lo que $f\left(\frac{x}{2}\right) = f\left(\frac{3}{2}x\right)$ . Entonces, al conectar $(\frac{x}{2},\frac{x}{2},\frac{x}{2})$ rinde $$3f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{3}{2}x\right) = 3f(x),$$ por lo que $f(\frac{x}{2}) = 0$ y $\frac{x}{2} \in Z$ .