Baby Rudin 2.33: ¿Cómo podemos estar seguros de que hay una cubierta abierta para K en relación con Y?

Question

El teorema 2.33 de Baby Rudin dice: "Supongamos $K \subset Y \subset X$ . Entonces $K$ es compacto con respecto a $X$ si y sólo si $K$ es compacto con respecto a $Y$ ." Para demostrar ( $\Rightarrow$ ), comienza escribiendo: "Supongamos $K$ es compacto con respecto a $X$ y que { $V_\alpha$ } sea una colección de conjuntos, abierta respecto a $Y$ , de tal manera que $K \subset \bigcup_\alpha V_\alpha$ ".

La parte que no entiendo es cómo se justifica que esa colección { $V_\alpha$ } de pariente abierto ¿existen conjuntos?

Para demostrar el Teorema 2.30 Rudin utiliza la definición de pariente abierto : "Supongamos $E$ está abierto en relación con $Y$ . A cada $p \in E$ hay un número positivo $r_p$ de manera que las condiciones $d(p,q) < r_p, q \in Y$ implica $q \in E$ . Volviendo al argumento inicial, podemos sustituir $E$ con $V_\alpha$ para algunos $\alpha$ y lo que estamos diciendo es que para cada $p \in {V_\alpha}$ hay un número positivo $r_p$ de manera que las condiciones $d(p,q) < r_p, q \in Y$ implica $q \in {V_\alpha}$ .

Mi dificultad estriba en entender cómo podemos estar seguros de que siempre podremos encontrar un $q \in Y$ para cada $p \in V_\alpha$ con $d(p,q) < r_p$ y también tener $q \in V_\alpha$ dado que $r_p > 0$ ? La razón es que desde $r_p > 0$ esto implica que estamos buscando un $q \in Y$ tal que $q \neq p$ (por lo demás $r_p = 0)$ . Mi opinión es que la única manera de que esto sea posible es si asumimos que $X$ y $Y$ son conjuntos abiertos, por lo que siempre hay vecindades alrededor de $p$ que son subconjuntos de $Y$ ¿pero el teorema no hace esta suposición?

Answer 1

El problema es que has entendido mal la definición. Dado $p\in V_\alpha$ no tiene que encontrar un $q\in Y$ tal que $d(p,q)<r_p$ La definición sólo dice que si $q\in Y$ es tal que $d(p,q)<r_p$ entonces $q\in V_\alpha$ . Es totalmente posible que el único punto $q\in Y$ que satisface $d(p,q)<r_p$ est $p$ sí mismo.

Exemple : Dejemos que $X=\Bbb R$ , $Y=(0,3)\cup\{5\}$ y $K=[1,2]\cup\{5\}$ . Sea $V=\big((1,3)\cup(4,6)\big)\cap K$ . Si $p=5$ , dejemos que $r_p=1$ ; si $q\in Y$ y $d(5,q)<1$ entonces $q=5$ por lo que es cierto que $q\in V$ . Si tomamos $p=2$ podemos volver a dejar $r_p=1$ : si $q\in Y$ y $d(2,q)<1$ entonces $q\in(1,2]\subseteq K$ .

Hay una manera más fácil de pensar en esto. Un conjunto $V$ está abierto en relación con $Y$ si y sólo si existe un conjunto abierto $U$ en $X$ tal que $V=V\cap Y$ . Esto es equivalente a la caracterización que citas y un poco más simple, y sería un buen ejercicio demostrarlo; la prueba no es difícil.

Tenga en cuenta que $Y$ siempre está abierto con respecto a sí mismo, ya que es igual a $X\cap Y$ , donde $X$ está ciertamente abierto en $X$ . Así, $\{Y\}$ es una cubierta de $K$ por conjuntos que están abiertos en relación con $Y$ . Pero en realidad se puede empezar con cualquier familia $\mathscr{U}$ de conjuntos abiertos en $X$ tal que $K\subseteq\bigcup\mathscr{U}$ y que $\mathscr{V}=\{U\cap Y:U\in\mathscr{U}\}$ Entonces $\mathscr{V}$ será una portada de $K$ por conjuntos abiertos en $Y$ .

Answer 2

La afirmación "Toda cubierta relativamente abierta de $K$ tiene una subcubierta finita" es efectivamente una declaración condicional. No afirma la existencia de una cubierta relativamente abierta de $K$ . Lo que afirma es que "Si una colección de conjuntos es una cubierta relativamente abierta de $K$ entonces existe una subcolección finita que también cubre $K$ ".

Para demostrar un enunciado condicional, hay que asumir la hipótesis, por lo que hay que demostrar que $K$ es relativamente compacta, se llega a suponer la existencia de una cubierta relativamente abierta de $K$ (no hay que demostrar la existencia), y el objetivo es demostrar para esa cubierta relativamente abierta asumida, que existe una subcubierta finita.

Answer 3

En primer lugar, para responder a la pregunta del título, podemos estar seguros de que si $K \subset Y$ entonces podemos encontrar una tapa abierta para $K$ en $Y$ Por ejemplo, siempre podemos elegir la cubierta $\{Y\}$ que es una tapa abierta de $K$ en relación con $Y$ porque $Y$ está abierto en $Y$ . Un segundo ejemplo de este tipo de cobertura sería $\{N_1(q)|q\in Y\}$ que es el conjunto de todas las vecindades de radio 1, centradas en un punto de $Y$ . Así que como veis no hay ningún problema en suponer la existencia de una tapa abierta para $K$ en relación con $Y$ .