Tengo que discutir el límite de la siguiente secuencia recursiva según el valor de $a$ . $$\begin{cases}a_1=a;\\ a_{n+1}=a_n\sqrt{\frac{n}{n+1}}\end{cases}$$ He considerado que para $a=0$ la secuencia es idéntica a $0$ $\forall n\geq 1$ por lo que trivialmente el límite es $0$ .
Cuando $a>0$ He observado que $a_{n+1}-a_n<0$ ya que si $a>0$ entonces $a_n>0$ $\forall n\geq 1$ . Por lo tanto la secuencia es decreciente y el límite coincide con su infimo que es $0$ . Del mismo modo, cuando $a<0$ la secuencia es creciente y el límite es su supremum, que sigue siendo $0$ .
¿Es correcta mi idea? No he mostrado todos los pasos para demostrar lo que he dicho en las líneas anteriores, ya que mi duda está en el esquema adoptado y no en las pruebas concretas sobre aumento o disminución de la secuencia.
EDIT: He intentado encontrar la forma explícita de $a_n$ . He obtenido: $a_n=a(\frac{n}{n+1})^{\frac{n-1}{2}}\to \frac{a}{\sqrt{e}}$ ...así que una de mis dos ideas está equivocada...
