$$\oint_{C} \frac{e^z}{z-\pi i}\ \mathrm dz$$ Si $C$ es la elipse $|z - 2| + |z+2| = 6$ ¿Cómo es eso? $0$ ? Puedo encontrar el punto singular en $2$ y $-2$ .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
k170
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Gráfico de contorno y polo en $z=i\pi$
Tal vez esta representación visual pueda ayudarle a intuir comprender por qué
$$\oint_{C} \frac{e^z}{z-\pi i}\ \mathrm dz=0$$ Donde $C$ es la elipse $|z - 2| + |z+2| = 6$
aefrrs
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En primer lugar, consideremos el conjunto $S=\{z\in\mathbb{C}:|z-2|+|z+2|<2\sqrt{13}\}$ . Se puede demostrar que este conjunto es simplemente conectado.
Dejemos que $z\in C$
$\Rightarrow z\in\mathbb{C}$
Supongamos que $z-\pi i=0$
$\Rightarrow z=\pi i\Rightarrow |z-2|+|z+2|=|\pi i-2|+|\pi i+2|=2\sqrt{\pi^{2}+4}>2\sqrt{9+4}=2\sqrt{13}\Rightarrow z\notin C$
Por lo tanto, por el contrapositivo, $z\in C\Rightarrow z-\pi i\neq 0$
$\Rightarrow z-\pi i\neq0$
Así, $\frac{e^z}{z-\pi i}$ es holomorfo en $S$ .
Dejemos que $z$ estar en la curva.
$\Rightarrow |z-2|+|z+2|=6=2\sqrt{9}<2\sqrt{13}$
$\Rightarrow z\in S$
Por lo tanto, la curva está dentro de $S$ y como $\frac{e^z}{z-\pi i}$ es holomorfo en $S$ Así que $\oint_C {\frac{e^z}{z-\pi i}}\, {dz}=0$
