Pregunta sobre la prueba de Sui Zhen Lin para la desigualdad $\sqrt{\frac{a^2}{9b^2-8b+4}}+\sqrt{\frac{4b}{a+4}}\leq 1$ con números positivos $a,b$ así que $a+b=1$

Question

dado dos números positivos $a, b$ para que $a+ b= 1$

Sui Zhen Lin ; @szl6208 dio una prueba muy bonita para la siguiente desigualdad $$\sqrt{\frac{a^{2}}{9b^{2}- 8b+ 4}}+ \sqrt{\frac{4b}{a+ 4}}\leq 1$$ Fuente: AoPS/@szl6208_ on.AoPS

Prueba. Tenemos $$\sqrt{\frac{a^{2}}{9b^{2}- 8b+ 4}}\leq\frac{\sqrt{a\left ( 9b^{2}- 8b+ 4 \right )\cdot a\left ( a+ 1 \right )^{2}}}{\left ( a+ 1 \right )\left ( 9b^{2}- 8b+ 4 \right )}\leq\frac{a\left ( 9b^{2}- 8b+ 4 \right )+ a\left ( a+ 1 \right )^{2}}{2\left ( a+ 1 \right )\left ( 9b^{2}- 8b+ 4 \right )}$$ $$\sqrt{\frac{4b}{a+ 4}}\leq\frac{\sqrt{4b\left ( a+ 4 \right )\cdot\left ( 2b+ 2 \right )^{2}}}{\left ( a+ 4 \right )\left ( 2b+ 2 \right )}\leq\frac{4b\left ( a+ 4 \right )+ \left ( 2b+ 2 \right )^{2}}{2\left ( a+ 4 \right )\left ( 2b+ 2 \right )}$$ Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$\frac{a\left ( 9b^{2}- 8b+ 4 \right )+ a\left ( a+ 1 \right )^{2}}{2\left ( a+ 1 \right )\left ( 9b^{2}- 8b+ 4 \right )}+ \frac{4b\left ( a+ 4 \right )+ \left ( 2b+ 2 \right )^{2}}{2\left ( a+ 4 \right )\left ( 2b+ 2 \right )}\leq 1$$ $$\Leftrightarrow RHS- LHS= \frac{a\left ( ab+ 11a+ 1 \right )\left ( a- b \right )^{2}}{\left ( a+ 1 \right )\left ( 9b^{2}- 8b+ 4 \right )\left ( a+ 4 \right )\left ( b+ 1 \right )}\geq 0$$ espera un minuto, en realidad $$RHS- LHS- \frac{a\left ( ab+ 11a+ 1 \right )\left ( a- b \right )^{2}}{\left ( a+ 1 \right )\left ( 9b^{2}- 8b+ 4 \right )\left ( a+ 4 \right )\left ( b+ 1 \right )}= \left ( a+ b- 1 \right )f\left ( a, b \right )= 0$$ pero ¿Cómo por qué es tan perfecto? Creo que tal vez hay soluciones construidas por sustituciones como $g\left ( a \right )- g\left ( 1- b \right )\!, g\left ( 2a \right )- g\left ( a+ 1- b \right )\!= \left ( a+ b- 1 \right )f\left ( x \right ).$ ¿Cuál es la mejor sustitución perfecta en este caso? Que alguien me enseñe, ¿eh?

Answer 1

Usando el álgebra.

A partir de la restricción $b=1-a$ . Por lo tanto, nos enfrentamos a $$f(a)=\sqrt{\frac{a^2}{9 a^2-10 a+5}}+2 \sqrt{\frac{1-a}{a+4}}$$ $$f'(a)=\frac{5-5 a}{(9 a^2-10 a+5)^{3/2}}-\frac{5}{\sqrt{1-a} (a+4)^{3/2}}$$

Cuadrado y factor; el numerador es sólo $$(2 a-1) (5 a-1) \left(a^2-a+1\right) \left(73 a^2-118 a+61\right)$$ Así, la derivada sólo se cancela para $a=\frac 15$ y $a=\frac 12$ . La prueba de la segunda derivada muestra que la primera es un mínimo y la segunda un máximo. Por lo tanto, tenemos $$f\left(\frac{1}{5}\right)=\frac 32\sqrt{\frac{3}{7}} \qquad \text{and} \qquad f\left(\frac{1}{2}\right)=1$$

En $a=\frac 12$ tenemos $$f(a)=1-\frac{20}{27} \left(a-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1480}{729} \left(a-\frac{1}{2}\right)^3+O\left(\left(a-\frac{1}{2}\right)^4\right)$$