Revestimiento para el problema del tablero de ajedrez $m \times n$ en el que tanto $m$ como $n$ son impares.

Question

Considera un $m\times n$ tablero de ajedrez en el que tanto $m$ como $n$ son impares. El tablero tiene una casilla más de un color, digamos, negro, que de blanco. Muestra que, si exactamente una casilla negra está prohibida en el tablero, el tablero resultante tiene un enlosado con dominós.

Entonces, si al menos uno de los $m$ o $n$ son pares, puedes enlosar completamente el tablero de ajedrez. ¿Pero qué pasa con los impares?

Answer 1

Aquí hay un dibujo rudimentario de un tablero de ajedrez de 7 por 11 que usaré para ilustrar la construcción. Los cuadrados negros están etiquetados como A y B, porque estas dos categorías de cuadrados negros utilizan diferentes construcciones.

A   A   A   A   A   A   A 
  B   B   B   B   B   B   
A   A   A   A   A   A   A 
  B   B   B   B   B   B   
A   A   A   A   A   A   A 
  B   B   B   B   B   B   
A   A   A   A   A   A   A 

Si el cuadrado negro seleccionado, "*", es una "A," entonces coloque el resto de su fila y columna con dominós, luego los rectángulos restantes pares por pares con dominós:

          1  
          1
  3 3 2 2 * 4 4 5 5 6 6
          7 
          7 
          8 
          8 

Si el cuadrado negro seleccionado es una "B," primero rodee ese cuadro con cuatro dominós como se muestra, luego divida el resto de la cuadrícula en 8 rectángulos, cada uno con al menos una dimensión par (posiblemente cero):

       . . . 
       . . .
   . . 3 4 4 . . . . . . 
   . . 3 * 1 . . . . . . 
   . . 2 2 1 . . . . . . 
       . . . 
       . . .