Esto es un poco de un acercamiento inusual, y, posiblemente, no apto para principiantes grupo de teóricos, pero voy a seguir adelante y presente de todos modos en caso de que alguien lo encuentra interesante:
Usted puede considerar los elementos de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ como dos dimensiones de los vectores, y aplicar las transformaciones de matriz como si se tratara de hacer en álgebra lineal. Las transformaciones por las matrices dé homomorphisms (lineal mapa es sólo un tipo especial de homomorphism, después de todo), y por otra parte, el uso de matrices de determinante 1 dar lugar a isomorphisms (como se puede mostrar de forma explícita que el cálculo de la inversa). Mi estrategia aquí es llegar a una buena isomorfismo de $\mathbb Z^2$ a a sí mismo de que los mapas de $(a,b)$$(0,d)$, por lo que la pregunta se convierte en simple.
Sé que a partir de la teoría de los números que el MCD de dos números enteros se puede escribir como una combinación lineal de ellos, así que voy a seguir adelante y hacer que: $d = xa + yb$ algunos $x$$y$. Así que me estoy imaginando la segunda fila de mi isomorfismo de la matriz va a ser, probablemente,$(x\ \ y)$, por lo que el $(a,b)$ se asigna a algo con el segundo componente $d$. Quiero que el primer componente a ser 0, por lo que quiero un poco de cero combinación lineal de $a$$b$. Así, la más obvia es $b$ muchas $a$ $-a$ muchas $b$. Así que aquí está el candidato de la matriz:
\[\begin{pmatrix}
b & -a \\
x & y
\end{pmatrix}\]
No está mal – se induce un homomorphism que los mapas de $(a,b)$ $(0,d)$justo como queríamos. El problema, sin embargo: no es un isomorfismo! Calcular el determinante y consigue $yb + xa = d$, donde queríamos 1. Hmm... la multiplicación de una fila o columna por $1/d$ tipo que fuera, pero, por supuesto, necesitamos entero entradas, por lo que no podemos poner en cualquier sitio que nos gusta. Pero no olvidemos $d$ es el MCD de a$a$$b$, así que sin duda $d$ divide a los dos – o en otras palabras, tanto en $b/d$ $-a/d$ son enteros! Y, de hecho, la siguiente matriz es un isomorfismo:
\[\begin{pmatrix}
b/d & -a/d \\
x & y
\end{pmatrix}\]
Que le permite ir de$\mathbb Z^2/\langle (a,b) \rangle$$\mathbb Z^2/\langle (0,d) \rangle$. Y es bastante claro (por ejemplo, por el primer teorema de isomorfismo, pero esta vez con mucho más simple $\phi$) que el segundo es sólo $\mathbb Z \times \mathbb Z_d$.
Nota: en realidad no es tan difícil ver que cada homomorphism de $\mathbb Z^2$ a de sí mismo puede ser representada como una matriz, por lo que si usted ya tiene la intuición acerca de cuando los mapas se puede y no se puede transformaciones lineales, usted puede ser capaz de llevar a este caso. Por ejemplo, la propuesta de su homomorphism multiplica juntos entrada de dos términos, que no es muy lineal cosa que hacer!
