Cierre algebraico.

Question

Estaba tratando de resolver esto:

Dejemos que $E$ sea un campo de extensión de $K$ . Si $K$ es un campo algebraicamente cerrado, entonces el cierre algebraico $A$ de $K$ en $E$ es un campo algebraicamente cerrado.

Pero para esto necesito:

Cada elemento de $E$ que es un elemento algebraico en $A$ pertenece a $A$

¿Cómo puedo mostrar la segunda afirmación?

Gracias.

Answer 1

Evidentemente, la ampliación $\;E/K\;$ es trivial o trascendental (¿por qué?) . Ahora, supongamos $\;\ell\in E\;$ es algebraico sobre $\;A\;,\;\;K\le A\le E\;$ , lo que significa que existe un valor no nulo $\;p(x)\in A[x]\;\;s.t.\;\;p(\ell)=0\;$ .

Pero si $\;p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n\;$ entonces $\;a_i\in A\;\;\forall\;i\;$ y esto significa que $\;a_i\;$ es algebraico sobre $\;K\;$ (¿por qué?) , para que $\;K(a_0,...,a_n)/K\;$ es un extensión finita y, por lo tanto, también $\;K(a_0,...,a_n,\ell)=K(a_0,...,a_n)(\ell)\;$ es finito sobre $\;K\;$ Así que $\;\ell\;$ es algebraico sobre $\;K\;$ y por lo tanto $\;\ell\in A\;$