Rotación ergódica del toro

Question

Consideremos el sistema dinámico que preserva la medida $(\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2, \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}, \lambda \otimes \lambda, R_{(\alpha, \beta)})$ . Este es el toro con el barreno $\sigma$ -la medida de Lebesgue, y la rotación se define como

$$ R_{(\alpha, \beta)}(x,y) = (x + \alpha \ (mod1), y + \beta \ (mod1)) $$

Estoy buscando una condición necesaria y suficiente para que este sistema sea ergódico.

He llegado mediante el análisis de Fourier a una condición suficiente para que el sistema sea ergódico:

$$ \forall (k_1, k_2) \in \mathbb{Z}^2 \backslash \{(0,0)\}, \ k_1 \alpha + k_2 \beta \notin \mathbb{Z} $$

Y mediante un análisis más geométrico a una condición necesaria para que el sistema sea ergódico:

$$ \forall \lambda > 0, \ \lambda \cdot (\alpha, \beta) \neq 0 $$

Pero no he sido capaz de unificarlas en una sola.

¿Alguna ayuda o buenas referencias sobre este tema?

Gracias de antemano.

Answer 1

Nótese que el sistema es ergódico si y sólo si la órbita de cada punto está equidistribuida en $\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$ .

La primera condición $$\forall (k_1, k_2) \in \mathbb{Z}^2 \backslash \{(0,0)\}, \ k_1 \alpha + k_2 \beta \notin \mathbb{Z}$$ es una condición necesaria y suficiente. Para demostrarlo se puede utilizar el criterio de Weyl para la equidistribución. El criterio de Weyl dice que una secuencia $x:\mathbb{N}\to(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^d$ está equidistribuido en $(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^d$ si y sólo si $$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}e(k\cdot x(n))=0 \text{ for all } k\in\mathbb{Z}^d\backslash\{0\},$$ donde $e(y):=e^{2\pi iy}$ y $(k_1,\ldots,k_d)\cdot(x_1,\ldots,x_d)=k_1x_1+\ldots+k_dx_d$ . No es difícil ver que la primera condición es equivalente a la fórmula anterior.

Como referencia, puedes encontrar la prueba del criterio de Weyl en el libro de Terence Tao "Higher order Fourier analysis".