Expresión del operador lineal que transforma $x^n\to n!x^{-n}$ ?

Question

Me pregunto si existe una expresión para un operador lineal que transforme $x^n\to n!x^{-n}$ ¿afectando de esta manera a las series de potencia?

Es decir, ¿se puede expresar mediante algún tipo de integrales, derivadas, etc.? ¿Y el operador inverso?

Answer 1

La transformada de Laplace (unilateral) $L(f(t)) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt$ tiene la propiedad de que

$$L(t^n) = \frac{n!}{s^{n+1}}$$

por lo que esta transformación es $f \mapsto s L(f)$ al menos formalmente, y su inversa viene dada por la división entre $s$ y tomando la transformada inversa de Laplace, también al menos formalmente.