Demuestra que $Y_t$ es un modelo AR(2)

Question

Déjalo:

$$Y_t=\beta_1Y_{t-1}+\epsilon_t$$ $$\text{with}$$ $$\epsilon_t=\beta_2\epsilon_{t-1}+u_t, ~~\epsilon_t \sim i.i.d.(0, \sigma^2)$$ $$\text{where}$$ $$\beta_1 \ne 0, ~~~~~ |\beta_2|<1$$

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Hasta ahora sé que ambos $Y_t=\beta_1Y_{t-1}+\epsilon_t$ y $\epsilon_t=\beta_2\epsilon_{t-1}+u_t$ son procesos AR(1) pero la suma de dos AR(1) da un modelo ARMA(2,1), este no es nuestro caso.

A partir de aquí, ¿qué pasos debo seguir para demostrar que $Y_t$ ¿es un modelo AR(2)?

Answer 1

Utilizando operadores de retardo, la primera ecuación puede reescribirse como

$$ (1-\beta_1 L) Y_t = \epsilon_t $$

de forma similar

$$ (1- \beta_2 L) \epsilon_t = u_t$$

Por lo tanto, dado que esta última es causal (porque $|\beta_2| <1$ ) $$ (1-\beta_1 L) Y_t = \frac{u_t}{1- \beta_2 L} $$

et

$$ (1-\beta_1 L)(1- \beta_2 L) Y_t = (1-(\beta_1+\beta_2)L+\beta_1 \beta_2 L^2)Y_t= u_t$$

Por lo tanto, $Y_t$ es un proceso AR(2) con coeficientes $a_1=\beta_1+\beta_2, a_2= -\beta_1\beta_2$