Homomorfismos de anillos de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$

Question

Me estoy confundiendo.

Además, ¿se entiende siempre que estamos considerando homomorfismos de anillos unitales?

$\phi(r)=\phi(\sum_1^r 1)= \sum_{i=1}^r \phi(1) = r \phi(1) = r(0+30 \mathbb{Z}) = r \cdot 30\mathbb{Z}$

Algo está mal aquí ya que sé que debería ser el homomorfismo de proyección, por lo que debería tener $r+ 30 \mathbb{Z}$ .

Además, si abandono este homomorfismo unital, ¿hay otros?

Answer 1

Si se requieren homomorfismos de anillos unitales, entonces se tiene $\phi(1)=1+30\mathbb{Z}$ no $\phi(1)=0+30\mathbb{Z}$ como ha escrito en su pregunta. Entonces el resto de tu trabajo es correcto, $$r\phi(1)=r(1+30\mathbb{Z})=\underbrace{(1+30\mathbb{Z})+\cdots+(1+30\mathbb{Z})}_{r\text{ times}}=(\underbrace{1+\cdots+1}_{r\text{ times}})+30\mathbb{Z}=r+30\mathbb{Z}$$ Si no se requiere que los homomorfismos de anillo sean unitales, entonces se puede tener un homomorfismo $\phi$ enviar $1\in\mathbb{Z}$ a cualquier $k+30\mathbb{Z}$ siempre y cuando $k^2 -k \equiv 0 \bmod 30$ .