Para un trabajo que estoy escribiendo, necesito estos dos datos. Las pruebas son bastante cortas, pero prefiero citarlas. Esto es para las martingalas indexadas por números naturales. Además, llamo "singular" a una martingala que converge a 0. También he visto que se llaman "potenciales".
¿Existe una buena referencia para estos dos hechos?
¿Tienen estas descomposiciones una norma nombres estándar?
¿Existe un término estándar para una martingala que converja a 0?
Abajo, $\Vert M \Vert$ es el $L^1$ -límite de la martingala $M_k$ .
Descomposición 1. Dejemos que $(M_{k})$ ser un $L^{1}$ -martingala limitada con respecto a la filtración $({\mathcal{F}}_{k})$ . Entonces hay dos martingalas no negativas $(P_k)$ y $(N_k)$ tal que tal que $M_{k}=P_k-N_k$ a.e. para todos $k$ y $\left\Vert M\right\Vert =\left\Vert P\right\Vert +\left\Vert N\right\Vert = \Vert P_0 \Vert_1 + \Vert N_0 \Vert_1$ . Además, esta descomposición es a.e. única; $(P_k)=\sup_{n\geq k}E[[M_{n}]^{+}\mid\mathcal{F}_{k}]$ a.e.; $N_k=\sup_{n \geq k}E[[M_{n}]^{-}\mid\mathcal{F}_{k}]$ a.e.; $\lim_{k\rightarrow\infty}P_k=[\lim_{k}M_{k}]^{+}$ a.e.; y $\lim_{k\rightarrow\infty}N_k=[\lim_{k}M_{k}]^{-} a.e.$
Descomposición 2. Dejemos que $(M_{k})$ ser un $L^{1}$ -martingala limitada con respecto a la filtración $(\mathcal{F}_{k})$ y que $M_{\infty}=\lim_{n}M_{n}$ . Entonces hay una martingala uniformemente integrable $(U_k)$ y una martingala singular $(S_k)$ tal que $M_{k}=U_k+S_k$ a.e. para todos $k$ . Además, esta descomposición es a.e. única; $U_k=E[M_{\infty}\mid\mathcal{F}_{k}]$ a.e.; $S_k=E[M_{k}-M_{\infty}\mid\mathcal{F}_{k}]$ a.e.; y $\left\Vert M\right\Vert =\left\Vert U\right\Vert +\left\Vert S\right\Vert $ .
