¿Hasta qué punto es Lindelöf de compacidad?

Question

Hace un tiempo escuché de una buena caracterización de la compacidad, pero nunca he visto una fuente escrita de ella, así que estoy empezando a dudar de ella. Estoy buscando una referencia, o contraejemplo, para el siguiente . Deje que $X$ ser un topológico de Hausdorff espacio. Entonces, $$ X es compacto si y sólo si $X^{\kappa}$ es Lindelöf para cualquier cardenal $\kappa$.

Si lo anterior es, de hecho, un hecho, se puede restringir la clase de $\kappa$'s para que la caracterización sigue siendo válida?

Nota: Aquí estoy pensando en virtud de ZFC.

Answer 1

La respuesta es Sí.

Teorema. Los siguientes son equivalentes para cualquier Hausdorff espacio de $X$.

1. $X$ es compacto.

2. $X^\kappa$ es Lindelöf para cualquier cardenal $\kappa$.

3. $X^{\omega_1}$ es Lindelöf.

Prueba. El avance implicaciones son fáciles, el uso de Tychonoff para 1 implica 2, ya que si $X$ es compacto, entonces $X^\kappa$ es compacto y por lo tanto Lindelöf.

Así que supongamos que disponemos de un espacio de $X$, que no es compacto, pero $X^{\omega_1}$ es Lindelöf. Es se sigue que $X$ es Lindelöf. Por lo tanto, hay una contables la cubierta no tener finito subcover. A partir de esto, podemos construir una estrictamente creciente secuencia de bloques abiertos $U_0 \subconjunto U_1 \subconjunto \dots U_n \dots$ con la unión de $\bigcup\lbrace U_n \; | \; n \, en \omega \rbrace = X$.

Por cada $J \subconjunto \omega_1$ de tamaño $n$, vamos a $U_J$ ser el conjunto $\lbrace s \X^{\omega_1} \; | \; s(\alpha) \en U_n$ por cada $\alpha \J \rbrace$. Como el tamaño de los $J$ aumenta, el conjunto $U_J$ permite más libertad en la coordenadas en $J$, pero restringe más coordenadas. Si $J$ ha tamaño $n$, que nos llame a $U_J$ un abra $$n-box, ya que restringe las secuencias en $n$ coordenadas. Deje que $F$ ser el la familia de todos los $U_J$ para todos los finita $J \subconjunto \omega_1$

Este $F$ es un cover de $X^{\omega_1}$. A ver esto, considere la posibilidad de cualquier punto $s \X^{\omega_1}$. Por cada $\alpha \en \omega_1 de dólares, hay algunos$$n$s(\alpha) \en U_n$. Desde$\omega_1$es incontable, debe haber algún valor de$n$que se repite unboundedly a menudo, en particular, algunos$$n se produce por lo menos$n$veces. Vamos$J$ser las coordenadas donde esta$n$aparece. Por lo tanto,$s$es en$U_J$. Por lo que$F$ es una tapa.

Desde $X^{\omega_1}$ es Lindelöf, debe haber una contables subcover $F_0$. Vamos $J^*$ ser la unión de todos los finita $J$ que aparecen en la $U_J$ en este subcover. Por lo que $J^*$ es un subconjunto contable de $\omega_1$. Tenga en cuenta que $J^*$ no puede ser finito, desde entonces, los tamaños de los $J$ que aparecen en $F_0$ sería limitada y no alcanzaban a cubrir los $X^{\omega_1}$. Podemos reorganizar los índices de y suponer sin pérdida de generalidad que $J^*=\omega$ es los primeros $\omega$ muchos coordenadas. Por lo que $F_0$ es realmente un cover de $X^\omega$, haciendo caso omiso de la otras coordenadas.

Pero esto es imposible. Definir una secuencia $s \en X^{\omega_1}$ eligiendo $s(n)$ a ser fuera de $U_{n+1}$, y de otra manera arbitraria. Tenga en cuenta que $s$ es $U_n$ en menos de $n$ coordenadas de abajo $\omega$, y por lo que $s$ que no está en ninguna de $n$-caja con $J \subconjunto \omega$, desde cualquier cuadro de ha $n$ valores en $U_n$. Por lo tanto, $s$ no es en cualquier conjunto en $F_0$, así que no es un de la cubierta. QED

En particular, para responder a la pregunta al final, basta tomar cualquier innumerables $\kappa$.

Answer 2

Este es un complemento a Joels respuesta y algunas generalizaciones.

En "Paracompactness de producto y espacios" (1948), la Piedra demostrado que si un producto es espacio de Lindelof y regular, a continuación, todos, pero countably que son muchos los factores compacto.

En "Compactos factores finalmente compacto productos de espacios topológicos" (2005), Lipparini eliminado la condición de regularidad y generalizar el resultado a formas más débiles de la compacidad. Por ejemplo, se sigue que, si $X^{\aleph_{\alpha+n+1}}$ finalmente $\aleph_{\alpha+n+1}$-compacto, entonces $X$ finalmente $\aleph_\alpha$-compacto (un espacio que es , finalmente, $\kappa$-compacto si cualquier abra la cubierta admite un subcover de tamaño menor que $\kappa$). Un corolario de esto es que, si $X^{\aleph_n}$ finalmente $\aleph_n$-compacto, entonces $X$ es compacto. En particular, si $X^{\aleph_1}$ es Lindelof entonces $X$ es compacto.

En una dirección diferente (la generalización de Tychonoff), en los "Productos de la inicialmente m-espacios compactos" (1974), Stephenson y Vaughan demostrado que, si $\kappa$ es un singular fuerte límite cardenal, entonces cualquier producto inicialmente de $\kappa$-espacios compactos es inicialmente $\kappa$-compacto (un espacio que es inicialmente $\kappa$-compacto si cualquier abra la cubierta de tamaño $\kappa$ admite un número finito de subcover). Tenga en cuenta que inicialmente $\aleph_0$-compact es sólo countably compacto, y que hay espacios que $X$ tales que $X$ es countably compacto pero $X^2$ es no (ver Nováks "En el producto cartesiano de dos espacios compactos", 1953).

Toda la información de arriba fue tomada de: http://biblioteca.uniandes.edu.co/Tesis_2006_primer_semestre/00006522.pdf

Answer 3

Nunca he oído hablar de ese resultado (lo cual no quiere decir que dudo de su verdad, no tengo ninguna opinión del modo que sea), pero me recuerda a los siguientes

Teorema (N. Noble): Si cada uno de los poderes de un $T_1$-espacio es normal, entonces el espacio es compacto.

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Ver

MR0283749 (44 #979) Noble, N. Los productos con el cierre de las proyecciones. II. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 160 1971 169 183--

y por una sencilla prueba,

MR0415571 (54 #3656) Franklin, S. P.; Walker, R. C. La normalidad de poderes implica la compacidad. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 36 (1972), 295--296.

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Me pregunto si hay alguna conexión real aquí?

Answer 4

Aquí es muy sorprendente el hecho de que yo era completamente inconsciente hasta ayer, cuando me enteré de que en Herrlichs libro "Axioma de Elección". Esto demuestra que la respuesta a la pregunta del título podría ser "muy cerca":

Hay modelos de $ZF$ en el que por cada $T_1$ espacio $X$, $X$ es Lindelöf si y sólo si $X$ es compacto.

Por ejemplo, esto es lo que se llama Cohen primer modelo. También en este modelo, Tychonoffs teorema vale para espacios de Hausdorff, tan arbitrario productos de Lindelöf espacios de Hausdorff son Lindelöf.