¿Es el conjunto $\{A \in \mathcal{M}(n \times n; \mathbb C ): \rho(A) < 1\}$ ¿abierto?

Question

Dejemos que $F = \{A \in \mathcal{M}(n \times n; \mathbb C ): \rho(A) < 1\}$ , donde $\rho$ denota el mayor módulo del valor propio. Quiero saber si $F$ está abierto o cerrado.

Mi idea es considerar $F_i = |\cdot| \circ \lambda_i : \mathcal{M}(n \times n) \to [0, \infty)$ donde $|\cdot|$ denota la función de módulo y $\lambda_i$ denota la función de valores propios. Entonces \begin{align*} F = \bigcap_{j=1}^n F_i^{-1} \left( [0, 1) \right). \end{align*} Desde $[0, 1)$ está abierto en el subespacio $[0, \infty)$ Así que $F$ está abierto.

Answer 1

Considere $g(A) = \det(I - A)$ . Se trata de una función continua de $\mathbb M_{n\times n}(\mathbb C)$ a $\mathbb C$ . $\rho(A) < 1$ si y sólo si $g(z A) \ne 0$ para todos $z$ en el disco cerrado de la unidad $\overline{D} = \{z \in \mathbb C: |z| \le 1\}$ .

Desde $\overline{D}$ es compacto, si $\rho(A) < 1$ , $g(\overline{D} A)$ es un conjunto compacto que no contiene $0$ así que hay $\epsilon > 0$ tal que $|g(z A)| > \epsilon$ para todos $z \in \overline{D}$ . Utilizando la continuidad uniforme de $g$ en el conjunto compacto $S = \{zB: \; |z| \le 1, \|B - A\| \le 1\}$ , hay $\delta > 0$ tal que $|g(z A) - g(z'B)| < \epsilon$ para todos $z', B$ con $|z'-z| < \delta$ y $\|A-B\| < \delta$ . En particular, si $|B-A| < \delta$ , $|g(zB)| > |g(zA)| - \epsilon > 0$ . Esto muestra que su conjunto está abierto.

Answer 2

Para cualquier $A$ , dejemos que $J=P^{-1}AP$ sea la forma de Jordan de $A$ . Puede reducir la superdiagonal de $J$ a voluntad a través de la transformación por similitud. De hecho, si $D:=\operatorname{diag}(1,t,t^2,\ldots,t^{n-1})$ las entradas superdiagonales de $D^{-1}JD$ son $t$ veces sus homólogos en $J$ . Cuando $t\to0^+$ la superdiagonal de $D^{-1}JD$ también se acerca a cero.

Por lo tanto, si $\rho(A)<1$ y $t>0$ es pequeño, tenemos $\|A\|_?<1$ , donde $\|B\|_?:=\|D^{-1}P^{-1}BPD\|_\infty$ . Dado que todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita inducen la misma topología, $\mathcal O=\{B: \|B\|_?<1\}$ es abierta en la topología habitual. Sin embargo, nuestra nueva norma también es submultiplicativa. Por lo tanto, $\rho(B)\le\|B\|_?<1$ en $\mathcal O\ni A$ y nuestra conclusión es la siguiente.