Diferenciación Resolución de problemas

Question

Cierta sustancia mágica que se utiliza para fabricar esferas mágicas sólidas cuesta $\$ 800 $ per cubic foot. The power of a magical sphere depends on its surface area, and a magical sphere can be sold for $\$20$ por pie cuadrado de superficie. Si fabrica una esfera de este tipo, ¿de qué tamaño debería hacerlas para maximizar su beneficio por esfera?

Hola, realmente estoy luchando con esto. Puede alguien por favor mostrar cómo completar la pregunta.

Answer 1

Nota Las fórmulas del volumen y la superficie de una esfera de radio $r$ son:

$$V= (4 \pi/3)r^3, ~~ A=(4 \pi)(r^2)$$

Dejemos que $p$ sea el beneficio, entonces

$$p(r) = 20 \left(4 \pi r^2\right)-\frac{800}{3} \left(4 \pi r^3\right) = 80 \pi r^2-\frac{3200 \pi r^3}{3}$$

Un gráfico de la función de beneficios muestra:

$p'=160 \pi r-3200 \pi r^2 = 0 \implies r = 0, r = \frac{1}{20}$ ( $r \ne 0$ )

$p'' = 160 \pi -6400 \pi r \rightarrow p''\left(\frac{1}{20}\right) = -160 \pi \lt 0$

$r = \frac{1}{20}$ ft da un beneficio máximo, por lo tanto:

$$p\left(\frac{1}{20}\right) = \frac{\pi }{15} = 0.20944$$