Agujeros de gusano y máquinas del tiempo - para *expertos* en RG/matemáticas

Question

EDIT: Se ha añadido una aclaración adicional en el contexto de las respuestas/comentarios recibidos hasta el 20 de enero

EDITADO: 21 de enero - Respuesta a la ampliación de Lubos adjunta [en curso, aún no completa].

EDIT: 23 de enero - Se han añadido los cálculos de Visser

EDIT: 26 de enero - Refutación de los experimentos mentales de Peter Shor

Resumen hasta la fecha (26 de enero)

La pregunta es: ¿son válidos los mecanismos de Morris, Thorne, Yurtsever (MTY) y Visser para convertir un agujero de gusano en una máquina del tiempo? La objeción al primero es que el "movimiento" de la boca de un agujero de gusano es tratado de forma inadmisible por el primero, y que el válido El tratamiento matemático de este último se aplica posteriormente de forma errónea a un caso en el que no se aplica una condición suficiente (y probablemente necesaria) (la existencia de una discontinuidad temporal). Se sostiene que los experimentos mentales existentes conducen a conclusiones incorrectas porque en el primer caso el tratamiento correcto introduce factores que rompen la equivalencia inercial entre un cohete no acelerado y la boca del agujero de gusano en movimiento, y en el segundo caso especialmente no respetan la distinción entre valores de coordenadas temporales y el espacio-tiempo separaciones.

Dado que el tratamiento detallado del caso Visser se reproduce a continuación, un argumento válido a favor de una máquina del tiempo de agujero de gusano debe mostrar cómo un intervalo $ds^2=0$ (la condición para una curva temporal cerrada) se obtiene en ausencia de una discontinuidad temporal.

Al considerar el documento de MTY (1988), se debe considerar cuidadosamente si los autores realmente transportan una boca de agujero de gusano o sólo el marco de coordenadas que es conveniente para describir una boca de agujero de gusano si uno sucedió para existir allí.

Las cuestiones relativas a los efectos cuánticos, las condiciones energéticas, y si cualquier máquina del tiempo creada podría persistir, etc., están fuera del tema; la pregunta es únicamente sobre la validez del razonamiento y las matemáticas relativas a la creación de máquinas del tiempo a partir de un agujero de gusano.

Las publicaciones originales en orden cronológico se encuentran a continuación.

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En Cosmic Variance, Sean Carroll recomendó este lugar por la calidad de las contribuciones, así que pensé en probar mi pregunta sin respuesta aquí; definitivamente es para expertos.

La pregunta es sencilla, y se expondrá en primer lugar, pero complementaré la pregunta con cuestiones específicas relativas a las explicaciones estándar y a las razones por las que no puedo conciliarlas con lo que parecen ser otras consideraciones importantes. En otras palabras, no estoy negando las conclusiones, sólo digo "no lo entiendo", y me gustaría que alguien me aclarara, por ejemplo, mostrando dónde se rompen los aparentes contra-argumentos/análisis.

La pregunta es: ¿Cómo se puede convertir un agujero de gusano en una máquina del tiempo?

Cosas suplementarias.

No tengo ningún problema con los viajes en el tiempo per se, especialmente en el contexto de la RG. Los universos de Godel, las máquinas de van Stockum, las posibilidades de historias autoconsistentes, etc., etc., son todos perfectamente aceptables. La cuestión se refiere específicamente a la aplicación de la RS y la RG a los agujeros de gusano y a la creación de diferencias de tiempo entre las bocas, lo que da lugar a máquinas del tiempo, como se expone en (A) el artículo seminal de Morris, Thorne y Yurtsever (Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition, 1987) y se explica con cierta extensión en (B) el libro de Matt Visser (Lorentzian Wormholes From Einstein To Hawking, Springer-Verlag, 1996).

A -- Contexto. MTY explora el caso de un agujero de gusano idealizado en el que una boca emprende un viaje de ida y vuelta (es decir, sufre un movimiento acelerado, según el ejemplo estándar de la "Paradoja de los Gemelos" de la RS).

Lo que no me queda claro es cómo se justifican las conclusiones de MTY dado que la boca del agujero de gusano en movimiento se trata como si se moviera contra un fondo minkowskiano: concretamente, ¿puede alguien explicar cómo el movimiento del agujero de gusano es válido como un difeomorfismo que, según mis limitados conocimientos, es el único tipo de transformación múltiple permitido en la relatividad.

Elaborando... la construcción de agujeros de gusano se describe generalmente como la toma de un colector subyacente, la escisión de dos regiones esféricas y la identificación de las superficies de esas dos regiones. En el caso de MTY, si el espacio de fondo es el espacio de Minkowski y permanece sin distorsión, entonces en los tiempos t, y t' la boca del agujero de gusano que sufre el "movimiento" parece identificar diferentes conjuntos de puntos (es decir, hay que extirpar diferentes esferas de la colector subyacente) y, por lo tanto, no hay un único colector, no hay difeomorfismo. [Análogo físico suelto: doblar un trozo de papel en forma de Omega mayúscula y dejar que los "talones" se toquen... manteniendo el contacto entre ellos, el papel puede deslizarse y el punto de contacto "se mueve", pero hay diferentes conjuntos de puntos en contacto].

Estoy de acuerdo con todo lo demás del artículo, excepto con este punto, que me parece fundamental: mover una boca del agujero de gusano requiere que la métrica cambie para estirar/encoger el espacio entre los extremos del agujero de gusano, es decir, la inferencia de una máquina del tiempo es un artefacto del enfoque original en el que la variedad del espaciotiempo se trata de dos maneras incompatibles simultáneamente.

Corolario: como forma de rehacerlo de forma coherente, considere la posibilidad de colocar la boca del agujero de gusano "en movimiento" en una burbuja warp al estilo de Alcubierre (la practicidad es irrelevante, sólo proporciona un manejo ordenado de los cambios métricos), aunque en este caso v es menor que c (llámelo burbuja un-warp para el transporte sublumínico, señalando de paso que es de hecho ligeramente más practicable que un sistema de transporte superlumínico). Como en el caso de la propulsión de Alcubierre, no hay dilatación del tiempo dentro de la burbuja, y el experimento mental estándar del agujero de gusano en un cohete (Kip Thorne y muchos otros) produce un resultado nulo.

B -- Contexto. (s18.3 p239 en adelante) Visser desarrolla un cálculo que comienza con dos universos separados en los que el tiempo corre a ritmos diferentes. Estos se unen en el infinito para formar un único universo de agujero de gusano con una discontinuidad temporal. La suposición de dicha discontinuidad conduce efectivamente a la aparición de una máquina del tiempo, pero cuando se quiere fabricar una máquina del tiempo dentro de un único universo se invoca la dilatación del tiempo de la RG (una boca del agujero de gusano se coloca en un potencial gravitatorio) para hacer que el tiempo fluya a ritmos diferentes en los dos extremos del agujero de gusano (para recrear el efecto descrito en el caso de dos universos en los que el tiempo simplemente fluye de forma natural a ritmos diferentes). Sin embargo, en el caso de un simple agujero de gusano intrauniversal no hay discontinuidad temporal (ni veo cómo podría inducirse una) y la aplicación de las ecuaciones derivadas anteriormente no produce ningún efecto neto.

Por lo tanto, según leo las explicaciones, ni los efectos de la RS ni los de la RG crean una máquina del tiempo a partir de un agujero de gusano (intrauniversal).

¿En qué me he equivocado?

Muchas gracias,

Julian Moore

Edición 1: COMENTARIOS ADICIONALES

La respuesta inicial de Lubos es informativa, pero -al igual que otros comentarios (como el de Lawrence B. Crowell)- el enfoque de la respuesta se centra en la imposibilidad de un agujero de gusano apropiado per se, y no en el razonamiento y las matemáticas utilizadas por Morris, Thorne, Yurtsever y Visser.

Estoy de acuerdo (en la medida en que los entiendo) con las cuestiones de QM, sin embargo la respuesta que se busca debe asumir que un agujero de gusano puede existir y entonces eliminar las dificultades que he señalado con la creación de diferencias de tiempo entre las bocas de los agujeros de gusano. Respuesta de Peter Shor se supone que que los efectos de SR se aplicarán y simplemente ofrece una forma de poner en movimiento la boca de un agujero de gusano; la pregunta es realmente, independientemente de cómo se pueda crear el movimiento, ¿lleva y cómo lleva SR (en este caso) al efecto reclamado?

Creo que el caso de la RG es el más sencillo porque las matemáticas del libro de Visser son sencillas, y si no hay discontinuidad temporal, las ecuaciones (con las que no tengo ningún problema) dicen que no se crea ninguna máquina del tiempo al poner una boca de agujero de gusano en un potencial gravitatorio fuerte. Por tanto, la respuesta adecuada a la parte de la pregunta relativa a la RG es mostrar cómo surge una máquina del tiempo en ausencia de una discontinuidad temporal o mostrar cómo una discontinuidad podría crearse (romper cualquier condición de energía que se quiera, por lo que puedo ver el absoluto discontinuidad requerida no puede obtenerse... invocar la QM no ayudaría ya que el límite estaría manchado por los efectos de la QM.

Lubos dijo que "una asimetría podría aumentar gradualmente el retardo temporal entre los dos puntos del espacio-tiempo que están conectados por el agujero de gusano", yo estoy diciendo: "Mi aplicación de las matemáticas del experto (Visser) dice que no lo hace - ¿cómo es que mi aplicación está en error?"

El caso de la RS es mucho más complicado conceptualmente. Estoy afirmando que el movimiento del agujero de gusano de MTY es en principio imposible porque, por no decir que la boca del agujero de gusano no se "mueve". Considera una sucesión de instantáneas que muestren la boca del agujero de gusano "en movimiento" en diferentes momentos y luego visualízalas rápidamente; al igual que una película se tiene una apariencia de movimiento a partir de imágenes fijas, pero en este caso el problema es que la boca del agujero de gusano en cada fotograma es una diferentes boca. Si el fondo es un espacio de Minkowski fijo (es decir, que no se distorsiona) en los tiempos t y t' hay que extirpar diferentes regiones de la variedad subyacente para crear el agujero de gusano en esos tiempos... por lo que las variedades de agujeros de gusano son variedades diferentes. Si el fondo no es un espacio de Minkowski fijo, entonces puede distorsionarse y una boca puede "moverse", pero se trata de un efecto global y no local, y al igual que el espaciotiempo en una burbuja de urdimbre de Alcubierre, nada ocurre localmente.

Considere dos puntos A y B y primero estire y luego reduzca el espacio entre ellos mediante una ingeniería métrica adecuada: ¿hay después una diferencia de tiempo entre ellos? Un simple argumento de simetría dice que no puede haberla, así que si las bocas de los agujeros de gusano se tratan como características del colector en lugar de objetos en el colector (como parece que los trata MTY) entonces la única forma de cambiar su separación es mediante cambios métricos entre ellos y no puede surgir ninguna máquina del tiempo.

Por supuesto, si una máquina del tiempo podría se crearía de cualquier manera, de hecho, casi seguro que se destruiría a sí mismo a través de la retroalimentación... pero, para repetir, esta no es la cuestión.

Gracias a Robert Smith por poner la recompensa en esta pregunta en mi nombre, y gracias a todos los contribuyentes hasta ahora.

Edición 2: Re La expansión de Lubos

Lubos da un ejemplo de un agujero de gusano en el espacio-tiempo que parece ser una máquina del tiempo, y a continuación ofrece cuatro formas de deshacerse de la máquina del tiempo prospectiva o resultante para aquellos que se oponen en principio. Aunque comprendo las dificultades de las máquinas del tiempo, no estoy ni a favor ni en contra de ellas per sunt, así que me concentraré en la cuestión de la creación. A continuación he ilustrado mi interpretación de la descripción de Lubos.

Según tengo entendido, no hay nada en la RG que impida, en principio, tener un colector en el que dos superficies, por lo demás similares, estén conectadas de tal manera que permitan algún tipo de viaje en el tiempo. Esta es la situación que se muestra en la parte superior de la ilustración. La cuestión es cómo se puede obtener la situación de la parte superior de la ilustración a partir de la situación de la parte inferior.

Consideremos ahora la siguiente ilustración de una superficie espacial con un simple agujero de gusano (que creo que es una foliación válida de, por ejemplo, un universo toroidal). A medida que pasa el tiempo, las dos bocas se alejan gracias a la expansión del espacio entre ellas, y luego se cierran de nuevo por el proceso inverso (como indica la separación cambiante de las líneas punteadas, que permanecen estacionarias)

Edición 3: Los cálculos de Visser reproducidos para su inspección

Considere el resultado en el caso de que no haya discontinuidad temporal utilizando las ecuaciones derivadas para el caso en que haya una discontinuidad, dadas a continuación

Visser, sección 18.3, p239 La métrica general para un agujero de gusano estático esféricamente simétrico

$$ ds^2~=~-e^{2\phi(l)}~dt^2~+~dl^2~+~r^2[d\theta^2~+~sin^2\theta~d\psi^2]~(18.35) $$

Nótese que "no hay ninguna razón especial para exigir que el tiempo transcurra al mismo ritmo a ambos lados del agujero de gusano. Más concretamente, es perfectamente aceptable que $(l=+\infty)~\neq~(l=-\infty)$ "

Reducir a (1+1) dimensiones para simplificar y considerar $$ ds^2~=~-e^{2\phi(l)}~dt^2~+~dl^2~~(18.36) $$

El rango de l es (-L/2,+L/2) y l=-L/2 debe identificarse con l=+L/2. Definir

$$ \phi_\pm\equiv\phi(l=\pm~L/2); ~\Delta\phi\equiv\phi_+~-~\phi_-~~~(18.37) $$

en el cruce $l=\pm~L/2$ la métrica tiene que ser suave, es decir. $ds = \sqrt{g_{\mu\nu}{dx^\mu}{dx^\nu}}$ es suave, lo que implica que $$ d\tau=e^{\phi_-}dt_-=e^{\phi_+}dt_+~(18.38) $$ Definir el origen de las coordenadas temporales identificando los puntos $$ (0,-L/2)\equiv(0,+L/2)~~(18.39) $$ entonces la discontinuidad temporal es $$ t_+=t_-e^{(\phi_-~-~\phi_+)}~=~t_-e^{(-\Delta\phi)}~~(18.40) $$ lo que lleva a la identificación $$ (t_-,-L/2)\equiv(t_-e^{-\Delta\phi},+L/2)~(18.41) $$ que hace que la métrica sea suave a través de la unión. Consideremos ahora una geodésica nula, es decir, ds=0, que es $$ {dl\over{dt}}=\pm{e^{+\phi(l)}}~(18.42) $$ donde los diferentes signos corresponden a los rayos que se mueven a la derecha/izquierda. Integrar para evaluar para un rayo que se mueve a la derecha, con las convenciones $t_f$ es el tiempo final y $t_i$ es el tiempo inicial $$ [t_f]_+=[t_i]_-+\int_{-L/2}^{+L/2}e^{-\phi(l)}dl~(18.43) $$ entonces aplica la condición de coincidencia de discontinuidad de coordenadas para determinar que el rayo vuelve al punto de partida en el tiempo de coordenadas $$ [t_f]_-=[t_f]_+e^{\Delta\phi} = [[t_i]_-+\oint{e^{-\phi(l)}}dl]e^{\Delta\phi}~(18.44) $$ Existe una curva nula móvil cerrada a la derecha si $t[_f]_-=[t_i]_-$ es decir $$ [t_i]^R_-={{\oint{e^{-\phi(l)}dl}}\over{e^{\Delta\phi}-1}}~~~(18.45) $$

Edición 4: Los experimentos mentales de Peter Shor revisados

Peter Shor ha reconocido (a nivel de "creo que veo lo que quieres decir...") los dos argumentos contra la creación de máquinas de tiempo de agujeros de gusano (la ausencia de la discontinuidad temporal requerida en el espaciotiempo si se van a utilizar los efectos de la RG, y que el movimiento de la boca de los agujeros de gusano requiere una evolución métrica inconsistente con el argumento del espacio de Minkowksi de MTY), pero sigue creyendo que tal máquina de tiempo de agujeros de gusano puede ser creada por cualquiera de los métodos estándar que ofrece un experimento mental. Esto es una contraposición a esos experimentos mentales y, aunque no constituye una prueba de lo contrario (no creo que tales experimentos mentales sean lo suficientemente ricos como para proporcionar una prueba en cualquier sentido), creo que arroja serias dudas sobre su interpretación, socavando así las objeciones.

Los argumentos contrarios se basan en la distinción clave entre el valores de la coordenada temporal y el separación de eventos ( $ds^2$ ). Los párrafos están numerados para facilitar su consulta.

(1) Considere la clásica situación de la Paradoja de los Gemelos y el diagrama de Minkowksi asociado. Cuando la gemela que viaja regresa tiene la misma coordenada t ( $T_{return}$ ) como su hermano que se queda en casa (¿quién dijo que tenían que ser homocigotos? :) ) Como todos sabemos, a pesar de las apariencias de lo contrario en dicho diagrama, el recorrido de la hermana es en realidad más corto (gracias a los signos mixtos de la métrica), por lo que ha tardado "menos tiempo" en llegar a $T_{return}$ de lo que le costó a su hermano. Ha pasado menos tiempo, pero no está "en el pasado".

(2) Ahora considere el escenario de los gemelos equivalentes a la gravedad. Esta vez se sienta en un pozo potencial durante un tiempo y luego vuelve con su hermana que se ha quedado en el espacio plano. De nuevo su coordenada t es la misma, pero de nuevo hay una diferencia en las separaciones; esta vez la de él es más corta.

(3) Ahora, para el Gemelo viajero/cazador sustituye una boca de agujero de gusano; entonces las bocas de los agujeros de gusano se juntan lo hacen en el mismo valor de t. Las bocas en movimiento pueden haber "viajado" distancias espaciales más cortas pero no están "en el pasado"

(4) Supongamos que ahora subimos la apuesta y le damos al gemelo que viaja/se hunde una boca de gusano para que se quede con ellos...

(5) Según los relatos habituales, el Sr. A puede ver a la Sra. A retroceder en su cohete -observando así la ralentización de su reloj- o puede comunicarse con ella a través del agujero de gusano, a través del cual no ver que su reloj se ralentiza porque no hay movimiento relativo entre la boca del agujero de gusano y la Sra. A. Dado que esto parece una imagen perfectamente coherente, nos lleva inevitablemente a la conclusión de que una máquina del tiempo llega a existir en su momento.

(6) Mi objeción a esto es que hay razones para dudar de lo que se afirma que se ve a través del agujero de gusano, y si no se observa la ausencia de dilatación del tiempo a través del agujero de gusano no seremos conducidos a la creación de una máquina del tiempo. Entonces, ¿qué sería uno ve a través del agujero de gusano, y por qué?

(7) Vuelvo a la cuestión de las transformaciones admisibles de la variedad del espaciotiempo. Si la boca de un agujero de gusano se precipita "a través" del espacio, el espacio que lo rodea debe estar sujeto a distorsiones. Ahora bien, aunque hay razones para dudar de que se pueda disponer la materia de tal manera que se cree la distorsión necesaria (las diversas objeciones a la condición energética de la propuesta original de Alcurbierre, por ejemplo), nos preocupa menos la cómo y más preocupado por el ¿Qué pasa si (sobre todo porque, si el espaciotiempo no puede "moverse" para permitir que la boca del agujero de gusano se "mueva", toda la cuestión se vuelve redundante). El mismo hecho de que el espaciotiempo alrededor de la boca del agujero de gusano "en movimiento" vaya a estar distorsionado sugiere al menos la posibilidad de que lo que se observa a través del agujero de gusano sea consistente con lo que se observa en el otro sentido, o que los efectos más allá del alcance del principio de equivalencia demuestren que la observación a través del agujero de gusano no es equivalente a la observación desde un marco inercial. Desgraciadamente no tengo las matemáticas para realizar los cálculos necesarios, pero en la medida en que exista una objeción de principio a la creación de una máquina del tiempo tal y como se describe comúnmente, espero que alguien lo compruebe.

(8) ¿Qué pasa entonces con el gemelo que se moja? En este caso no hay "movimiento" de la boca del agujero de gusano, por lo que no se pueden buscar efectos compensatorios del movimiento. Sin embargo, creo que se puede recurrir a la métrica en busca de ayuda. Supongamos que la boca del agujero de gusano en el pozo gravitatorio está realmente incrustada en un poco de espacio plano, entonces (suponiendo que el propio agujero de gusano es esencialmente plano) la transición de curvatura ocurre fuera de la boca y mirar a través del agujero de gusano debería ser como mirar alrededor de él: El Sr. A parece muy ralentizado. Si, por el contrario, la boca del agujero de gusano está totalmente incrustada en el espacio fuertemente curvado que también ocupa el Sr. A, entonces el agujero de gusano no puede ser uniformemente plano y, de nuevo, al mirar a través del agujero de gusano vemos exactamente lo mismo que vemos a su alrededor (al menos en lo que respecta al tictac del reloj del Sr. A.), sino que la transición del espacio plano al curvado (y, por tanto, el cambio en la frecuencia del reloj) se produce en la región interior del agujero de gusano.

(9) Tomado con los experimentos mentales "habituales", ahora tenemos puntos de vista contradictorios pero igualmente plausibles de las mismas situaciones, y ambos no pueden ser correctos. Sin embargo, creo que ningún refinamiento cualitativo resolverá la cuestión, por lo que prefiero las matemáticas, que parecen dejar bastante claro que los efectos habitualmente supuestos no se producen de hecho. Del mismo modo, si usted no está de acuerdo en que el punto de vista alternativo sea plausible, ya que el resultado "habitual" no me parece plausible, las matemáticas vuelven a ser el único terreno común en el que se puede resolver el desacuerdo. Insto a los demás a que calculen las separaciones de ida y vuelta utilizando las ecuaciones proporcionadas por el trabajo de Visser.

(10) Digo que el artículo de MTY está en un error porque trata el espaciotiempo como plano y rígido minkowskiano y luego trata el "movimiento" de una boca de agujero de gusano de una manera que es fundamentalmente incompatible con un fondo plano y rígido.

(11) Digo que Visser está en un error al aplicar su resultado (correcto) del agujero de gusano interuniversal a un agujero de gusano intrauniversal donde la ausencia de la discontinuidad temporal en este último anula el resultado.

(12) Estas objeciones han sido reconocidas, pero no se han aportado argumentos igualmente sustanciales para desvirtuarlas (es decir, para apoyar los resultados existentes); no se han abordado de frente.

(14) Tampoco me siento cómodo con ninguno de los argumentos cualitativos a favor de los agujeros de gusano-tiempo; es concebible una serie interminable de experimentos mentales, cada uno más intrincado y, en última instancia, menos convincente que el anterior. No quiero llegar a ese punto; mira las matemáticas y objeta con rigor si es posible.

Answer 1

esta respuesta se ha ampliado al final.

Estoy convencido de que los agujeros de gusano macroscópicos son imposibles porque violarían las condiciones de energía, etc., así que no es una prioridad absoluta mejorar la consistencia de las historias semiconsistentes. Al mismo tiempo, también creo que cualquier forma de viaje en el tiempo es imposible también, así que no es sorprendente que uno pueda encontrar algunos rompecabezas cuando se combinan dos conceptos probablemente imposibles.

Sin embargo, es un tema realmente confuso. Puedes elegir los artículos de Leonard Susskind de 2005 sobre los agujeros de gusano y los viajes en el tiempo:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0503097

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0504039

Curiosamente, para ser un físico teórico vivo de primer nivel, el primer artículo tiene ahora 3 citas y el segundo tiene 0 citas. El resumen del segundo artículo de Susskind dice lo siguiente sobre el primer artículo de Susskind:

"En un artículo reciente sobre los agujeros de gusano (gr-qc/0503097), el autor de ese artículo demostró que no sabía de qué estaba hablando. En este artículo corrijo los ingenuos conceptos erróneos del autor".

Muy divertido. El primer artículo, posteriormente desacreditado, afirma que la conservación de la energía local y el principio de incertidumbre para el tiempo y la energía son violados por el viaje en el tiempo a través de los agujeros de gusano. El segundo artículo elude las contradicciones del primero mediante algunos estados iniciales, etc. La discusión sobre la violación de la ley de conservación de la energía local en el artículo de Susskind es relevante para su pregunta.

Creo que si se permitiera que cualquier configuración del tensor de tensión-energía -o del tensor de Einstein, expresara cualquier curvatura- también sería posible que una garganta de un agujero de gusano inicial estuviera dilatada en el tiempo -un campo gravitatorio que sólo está en un lado- y tal asimetría podría aumentar gradualmente el retraso temporal entre los dos puntos del espaciotiempo que están conectados por el agujero de gusano. Por ejemplo, también puede mover un punto final del agujero de gusano a lo largo de un círculo casi a la velocidad de la luz. El propio agujero de gusano probablemente medirá el tiempo propio en ambos lados, pero el tiempo propio en el lado del punto final que circula se acorta por la dilatación del tiempo, lo que le permitirá modificar el retraso temporal entre los dos puntos finales.

Sea lo que sea que intentes hacer, si obtienes un espaciotiempo que no puede ser foliado, eso demuestra de facto que el procedimiento es físicamente imposible, de todos modos. Siento no tener una respuesta completa - pero eso es porque fundamentalmente creo que la única respuesta correcta es que uno no puede permitir agujeros de gusano que dependan de la densidad de energía negativa, y una vez que uno los permite, entonces prácticamente permite cualquier cosa y hay muchas maneras semi-consistentes de escapar de las contradicciones.

Expansión

Querido Julian,

Me temo que estás intentando responder a preguntas más detalladas mediante la relatividad general clásica de lo que ésta puede responder. Está claro que es posible construir variedades de espaciotiempo lisas de manera que un agujero de gusano conecte los lugares X, Y cuyo retardo de tiempo es pequeño al principio pero muy grande - y posiblemente, mayor que la separación sobre $c$ - al final. Piénsalo.

Se pueden cortar dos cilindros sólidos orientados en el tiempo del espaciotiempo de Minkowski. Sus bases en forma de disco en el pasado se encuentran ambas en $t=0$ pero sus bases en forma de disco en el futuro aparecen en $t_1$ y $t_2$ respectivamente. Puedo tomar fácilmente $c|t_1-t_2| > R$ donde $R$ es la separación entre los cilindros. Ahora, unir los cilindros por un agujero de gusano - un tubo que va entre ellos. De hecho, puedo hacer que la longitud propia del agujero de gusano disminuya a medida que avanzamos en el futuro. Parece bastante manifiesto que se pueden unir estos cilindros por un tubo de tal manera que la geometría será localmente suave y de Minkowski.

Estas variedades son localmente suaves y de Minkowski, cuando se trata de su firma. Se puede calcular su tensor de Einstein - será una función del colector. Si permites cualquier densidad de energía negativa, etc. - y la propia existencia de los agujeros de gusano te obliga más o menos a permitir la densidad de energía negativa - entonces puedes simplemente postular que había una densidad de energía y un tensor de energía-estrés que, cuando se inserta a las ecuaciones de Einstein, produjo la geometría particular. Así que no es posible evitar la existencia de geometrías del espaciotiempo en las que un agujero de gusano produce una máquina del tiempo en algún momento del futuro sólo en la relatividad general clásica sin ninguna restricción.

Las únicas formas de evitar estas configuraciones, casi seguramente patológicas, son

1. postular que el espaciotiempo puede ser rebanado de tal manera que todas las separaciones en la rebanada son similares al espacio (o como mucho a la luz) - esto descarta claramente las configuraciones de "viaje en el tiempo" prácticamente desde el principio

2. apreciar algún tipo de condiciones energéticas que prohíban o las densidades energéticas negativas

3. imponer otras restricciones al tensor tensión-energía, por ejemplo, que provenga de alguna materia que satisfaga algunas ecuaciones de movimiento con propiedades extra

4. tener en cuenta algo de mecánica cuántica -como Susskind-.

Si no se hace ninguna de las dos cosas, está claro que los agujeros de gusano podrán reconectar el espaciotiempo como quieran. Esta afirmación se reduce al hecho de que se puede construir una geometría en la que los enlaces temporales no existen al principio pero sí al final.

Todo lo mejor Lubos

Answer 2

Si tienes un agujero negro cargado, y un imán lo suficientemente fuerte, deberías ser capaz de mover el agujero negro cargado sin ninguna dificultad teórica. La boca de un agujero de gusano no debería ser diferente.

Answer 3

Puede alguien explicar cómo el movimiento de los agujeros de gusano es válido como un difeomorfismo, que mi limitada comprensión sugiere que es el único tipo permitido de transformación de colectores en la relatividad.

Los difeomorfismos son transformaciones de coordenadas, y no tienen nada que ver con nada físico. Si, en un parche de coordenadas, cambias a un sistema de coordenadas diferente, entonces si la transformación (de coordenadas) es un difeomorfismo ninguna física cambiará. Si se pasa de un parche de coordenadas a otro, hay que convertir las coordenadas en la región de solapamiento, y en la región de solapamiento la transformación será un difeomorfismo. Pero un difeomorfismo es sólo dos sistemas de coordenadas que describen la misma física. No tiene nada que ver con el movimiento (excepto en la medida en que para un determinado movimiento puede haber un sistema de coordenadas naturalmente asociado, pero podemos usar cualquier sistema de coordenadas que queramos, así que a quién le importa si uno tiene una forma más simple, todos funcionan bien).

¿Puede un agujero de gusano convertirse en una máquina del tiempo?

Sí. Voy a describir con detalle cómo hacer una máquina del tiempo a partir de un agujero de gusano, sin "mover" ninguno de los dos agujeros, y espero que no te moleste. En primer lugar, ten en cuenta que si dispones la materia (con densidad de energía positiva) en una cáscara esférica y envías a un gemelo al interior de la cáscara y otro se sienta en el exterior de la cáscara (ambos en reposo en un mismo sistema de coordenadas donde la métrica es estática), entonces el gemelo del exterior de la cáscara muere primero (envejece más rápido). El gemelo del interior se encuentra en un espaciotiempo perfectamente plano. El gemelo de fuera está en un espaciotiempo de Schwarzschild, y podemos hacer que la cáscara sea bastante delgada y poco densa para que no tenga que haber ninguna curvatura fuerte en ninguna parte (has mencionado la curvatura fuerte en tu ejemplo de la inmersión en la gravedad, y es innecesaria para el efecto en cuestión).

Ahora, imagina la esfera lo suficientemente grande como para que puedas colocar un agujero de gusano en el centro sin que cambie mucho la métrica fuera/cerca de la cáscara. Así que haz tu agujero de gusano con un par de bocas. Hazlas lo suficientemente separadas como para que haya espacio para construir una cáscara alrededor de una de ellas y que la otra quede fuera de la cáscara. La clave aquí es que no te estoy pidiendo que muevas los agujeros de gusano (o que los muevas rápido uno respecto al otro), sólo que tengan sus bocas muy separadas porque un agujero de gusano con ambas bocas cerradas no puede hacer mucho. Dado que están muy separados, entonces construye una cáscara esférica (de densidad de energía positiva) alrededor de uno de ellos. Así que no movemos ninguno de los dos agujeros de gusano (por lo que no tenemos que preocuparnos por su Omega, al que no puedo entender su objeción en lo más mínimo ya que los difeomorfismos no tienen nada que ver con la física, las partículas no conocen los sistemas de coordenadas y no saben cuándo o si cambiamos de un sistema de coordenadas a otro).

Ahora para el argumento estándar, puedes tener una región de agujero de gusano, puedes usar la métrica de Visser $$ds^2=-e^{2\phi(l)}dt^2+dl^2+dr^2(l)\left[d \theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right]$$ y tienen $\phi(l)$ se acercan a una constante como $l\rightarrow +\infty$ , una constante posiblemente diferente como $l\rightarrow -\infty$ . Parece que estás bien con esto si el $\pm l$ corresponden a "universos diferentes". Pero pidamos explícitamente más, insistamos también (como en la página 101 de Visser) en que $\lim_{l\rightarrow +\infty}r(l)/|l|=1=\lim_{l\rightarrow -\infty}r(l)/|l|$ . Así que tenemos un único sistema de coordenadas $(t,l,\theta, \phi)$ para ambos lados del agujero de gusano (como tecnicismo, el sistema de coordenadas está mal en los polos norte y sur y no puede dar toda la vuelta, esto ocurre incluso para coordenadas esféricas en un espacio-tiempo totalmente plano y traigo esto a colación no para ser pedante, sino porque exactamente el mismo problema surgirá cuando Visser haga de esto un agujero de gusano intrauniversal).

Definir $\phi_+=lim_{l\rightarrow +\infty}e^{\phi(l)}$ y $\phi_-=lim_{l\rightarrow -\infty}e^{\phi(l)}$ . Aunque tengamos un sistema de coordenadas para todo, imagina que lejos de la garganta, la gente prefiere usar $T_+=e^{\phi_+}t$ o $T_-=e^{\phi_-}t$ Entonces, siempre podríamos utilizar tres sistemas de coordenadas, porque los sistemas de coordenadas dependen de nosotros. La cuestión es que cuando $|l|$ es grande, los nuevos sistemas de coordenadas tienen una métrica que numéricamente se parece mucho a la del sistema de coordenadas del espaciotiempo plano. Así que puedes imaginar que tomas dos universos planos y vacíos, cortas una bola gigante de cada uno y pones nuestro agujero de gusano en medio y no hay que cambiar mucho la geometría.

Simplemente haga lo mismo con un espaciotiempo plano, excepto que corte dos bolas gigantes que estén lejos una de la otra. Y aunque Visser no dijo esto, estoy diciendo que se puede hacer esto incluso cuando $\phi_+=\phi_-$ . Espero que estés de acuerdo aquí, porque aún no hemos hecho una máquina del tiempo. BIEN. Ahora cortamos esas dos bolas gigantes de un espaciotiempo plano y vacío, pero esas mismas bolas están dentro de una bola aún más grande, y fuera de esa bola podría haber habido un caparazón gigante de materia con densidad de energía positiva (eso dejaría una métrica del espaciotiempo plana en el interior, y esa métrica del espaciotiempo plana en el interior es todo lo que necesitábamos para parchear nuestro agujero de gusano), así que por qué no suponer que todo el agujero de gusano y ambas bocas no estaban dentro de un espaciotiempo plano y vacío, sino que estaban dentro de un caparazón esférico de materia. Podemos hacerlo, ya que las matemáticas en el interior no son diferentes. Todavía no hay máquina del tiempo.

Ahora, hagamos una máquina del tiempo. Tenemos los agujeros de gusano, con la misma tasa de tiempo alrededor de cada boca y lejos de cada uno. Entonces vamos hasta la cáscara de mater y quitar una capa delgada y llevarlo a la región fuera de una boca y construir una cáscara delgada allí. Ahora hay una diferencia en el flujo de tiempo desde justo dentro de la cáscara y justo fuera de la cáscara (esto ya ocurre sin agujeros de gusano, así que de nuevo no debería haber ninguna controversia, y todo lo que movimos fue materia ordinaria de densidad de energía positiva, así que espero que eso tampoco sea problemático).

El secreto de la máquina del tiempo ahora es esperar. El tiempo de espera depende de la distancia (a través del espacio exterior y del agujero de gusano) a la que se encuentren las bocas, y de la cantidad de materia que pongamos en la carcasa. Y cuando coloquemos las dos bocas muy separadas, necesitamos que también estén muy separadas en relación con la curvatura que será inducida por la cáscara esférica que más tarde colocaremos alrededor de una de las bocas. Pero antes de hacer la máquina del tiempo, quiero hablar de lo que hizo Visser, ya que creo que tu pregunta puede ser más sobre eso que sobre cómo hacer una máquina del tiempo.

¿En qué me he equivocado?

Dado que pareces extremadamente preocupado por una discontinuidad de coordenadas sin citar ninguna razón para preocuparte, probablemente se trate de al menos un error conceptual. Imagina el sistema de coordenadas esférico, cuando te mueves en el $\varphi$ La dirección de la coordenada cambia suavemente y, digamos, aumenta, pero al final acabas volviendo al punto de partida. ¿Cómo es posible que siempre aumente y sin embargo acabes en un valor anterior/inferior? Un texto de geometría diferencial elemental te dirá que necesitas dos sistemas de coordenadas, por ejemplo uno que no incluya la línea internacional de la fecha y otro que excluya una línea que está a doce husos horarios, y tu libro de texto elemental te dirá que cambies de sistema de coordenadas de uno a otro antes de llegar al lugar donde tu sistema de coordenadas falla. Esto funciona. Sin embargo, es un poco exagerado para los profesionales experimentados. En su lugar, puedes utilizar un sistema de coordenadas y simplemente identificar $\varphi=2\pi$ y $\varphi=0$ y aceptar que hay una discontinuidad de coordenadas, pero que no significa nada, excepto que su habilidad siempre que ser frugal con los parches de coordenadas a expensas de una molestia menor con discontinuidades de coordenadas.

Así que ahora vamos a rehacer nuestro agujero de gusano intrauniversal antes de convertirlo en una máquina del tiempo. A diferencia de Visser, evitaremos las discontinuidades utilizando muchos sistemas de coordenadas. Así que primero tomamos una bola gigante de espaciotiempo plano (más tarde será el interior de la gran cáscara original). Dentro de ella sacamos dos bolas enormes, pero primero imaginamos un sistema de coordenadas esférico centrado en el centro de cada bola. Así tenemos dos sistemas de coordenadas esféricas en un espaciotiempo plano regular. Nada raro ni problemático. Y se puede pasar claramente de uno a otro.

Así que ahora ponemos nuestro agujero de gusano. Tiene su propio sistema de coordenadas como Visser dio (y como tú y yo escribimos). Podríamos recortar un gran valor positivo de $l$ y un valor muy negativo de $l$ y coserlo a los límites esféricos de donde estaban esas bolas. Pero la manera elemental del libro de texto sería incluir valores en el parche de coordenadas del agujero de gusano que sean ligeramente más positivos y más negativos, de modo que cuando llegues fuera de los antiguos agujeros sigas estando en el sistema de coordenadas del agujero de gusano durante un rato y luego cambies al sistema de coordenadas esféricas de esa boca del agujero de gusano. Luego más tarde cuando te acercas a la otra boca que la primera boca cambias a ese otro sistema de coordenadas esférico, luego cuando te acercas súper a la otra boca cambias al sistema de coordenadas del agujero de gusano de nuevo esta vez por un valor muy negativo de $l$ entonces te mueves más y finalmente estás dentro del agujero de gusano de nuevo. Esto podría haberse hecho completamente dentro del sistema de coordenadas de un agujero de gusano si simplemente se identificaran algunos puntos con $l$ con algunos puntos de muy negativa $l$ . Pero si esa técnica avanzada te confunde no lo hagas.

Pero no tiene nada que ver con un universo o dos, sólo se trata de hacer funcionar un sistema de coordenadas cuando un libro de texto elemental diría que hay que usar más de uno.

Sin embargo, en el caso de un simple agujero de gusano intrauniversal no hay discontinuidad temporal (ni veo cómo podría inducirse una) y la aplicación de las ecuaciones derivadas anteriormente no produce ningún efecto neto.

Hasta ahora podríamos empezar con una cáscara supergigante de materia, dentro tenemos un espaciotiempo plano. Dentro de eso recortar dos bolas muy grandes y muy alejadas entre sí. Entonces podemos tomar nuestro agujero de gusano y coserlo con el tiempo en ambos extremos marcando el mismo ritmo, tener tres sistemas de coordenadas (uno para la garganta, uno para la región justo fuera de una boca, uno para la región fuera de la otra boca, tenga en cuenta que las coordenadas del agujero de gusano podría haber trabajado para todo con una identificación, y que tener ambas coordenadas fuera de las bocas es redundante entre sí, pero que entonces al menos las transiciones entre cada sistema de coordenadas es estándar y no confuso). Lo que Visser llama el $l=\pm L/2$ La identificación es lo que yo llamo pasar del sistema de coordenadas esféricas en torno a una boca al sistema de coordenadas esféricas en torno a la otra boca en esa región alejada de la garganta (lejos de cualquiera de las dos bocas). Y de hecho es más fácil quedarse con la única métrica del agujero de gusano.

Espero que tú y yo y todos estemos de acuerdo hasta este punto, y que haya resuelto cualquier confusión que tengas. Lo que significa que cualquier problema con la siguiente parte son problemas reales con la física.

A continuación, robamos materia de la concha grande y la colocamos alrededor de una de las bocas. Si la cantidad de materia que hemos movido es pequeña comparada con la distancia entre las bocas, entonces después de un tiempo podríamos esperar que haya una métrica de tipo Schwarzschild alrededor del exterior de la cáscara alrededor de la boca uno, y que el flujo de tiempo cerca de la otra boca apenas se vea afectado porque está muy lejos. Así que el flujo de tiempo cerca de ambas bocas no se ve afectado por la envoltura. Pero ahora la boca uno se abre en una región de espacio-tiempo que está dentro de una cáscara de materia. Si colocas esa cáscara lo suficientemente lejos de la garganta, entonces ahí fuera la métrica del agujero de gusano parece casi esférica plana con el tiempo marcando un ritmo constante normal.

Así que imagina que empiezas dentro de la cáscara y te mueves hacia fuera. Te mueves en una métrica aproximada de Schwarzschild, por lo que utilizas coordenadas de Schwarzschild, originalmente tu tiempo de coordenadas se movía mucho más rápido que tu tiempo propio. Pero con el tiempo te alejas tanto que las cosas son bastante planas y el tiempo propio aquí ahora marca mucho como el tiempo de coordenadas. Entonces cambias al sistema de coordenadas esféricas para la otra boca, y el ritmo del tictac del tiempo también coincide con tu tiempo de coordenadas. Luego, antes de entrar en la boca del agujero de gusano, cambias al sistema de coordenadas del agujero de gusano y ahora tu reloj hace tictac a una velocidad de $dT=e^{\phi_+}dt=e^{\phi_-}dt$ donde $dt$ es el índice de tiempo de coordenadas. A continuación, se atraviesa la garganta utilizando la métrica:

$$ds^2=-e^{2\phi(l)}dt^2+dl^2+dr^2(l)\left[d \theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right],$$

todo el camino a través de la garganta del agujero de gusano, llegando finalmente a una región de gran $l$ donde de nuevo su tiempo propio marca a $dT=e^{\phi_+}dt=e^{\phi_-}dt$ donde $dt$ es el índice de tiempo de coordenadas. Luego cambias a las coordenadas esféricas originales alrededor de esa boca, donde el tiempo propio y el tiempo de coordenadas van juntos. Salimos un poco más, llegamos a la concha y volvemos al sistema original de coordenadas de Schwarzschild, donde el tiempo propio es ahora mucho más lento que el tiempo de coordenadas.

Puedes colocar un observador en cada boca en el mismo tiempo de coordenadas del agujero de gusano, y sus relojes pueden marcar el mismo número de veces entre dos tiempos de coordenadas del agujero de gusano (si $\phi_+=\phi_-$ y si $|l|$ es lo suficientemente grande como para que $\phi(l)\approx \phi_+$ ). Pero el reloj del agujero de gusano vacío funciona a la misma velocidad que el tiempo de las coordenadas de Schwarzschild, y el reloj del otro agujero de gusano funciona a una velocidad más lenta que el tiempo de las coordenadas de Schwarzschild. Cuando se espera el tiempo suficiente para que se acumule esta diferencia se obtiene la máquina del tiempo. Este ejemplo es más complicado que el de Visser, ya que él se limitó a afirmar una identificación para un origen temporal, mientras que nosotros empezamos con un agujero de gusano que tenía los extremos sincronizados y luego, con el tiempo, construimos la cáscara, de modo que empieza a convertirse en una máquina del tiempo a medida que movemos la materia y esperamos, pero no ocurre todo de una vez en un instante fácilmente etiquetado.

Así que ahora voy a mostrar que se forma una máquina del tiempo.

Para concretar y simplificar, primero fijamos una longitud $R$ , entonces encuentra el parámetro $l=W$ en las coordenadas del agujero de gusano donde $R=|r(\pm W)|$ . Queríamos la asintótica $\phi$ sean iguales, elegiremos que $\phi_+=\phi_-=0$ y que $\phi(\pm W)\approx 0$ , $|r(\pm W)|\approx W$ y que estos sólo se habrían acercado a medida que $|l|$ se hizo aún más grande que $W$ si hubieran conectado dos universos diferentes. Esto es lo que llamaremos la garganta, y estas superficies tienen una superficie de $\approx 4\pi R^2$ . A continuación recogemos suficiente materia que formaría un radio de Schwarzschild de $R$ pero en su lugar nos posicionamos en una cáscara esférica de superficie $4\pi(10R)^2$ , por lo que hay un $9R$ distancia adecuada entre ella y el $l=+W$ final de la garganta. Configuramos el espacio-tiempo para tener una distancia adecuada de $10^9R$ entre la cáscara y el $l=-W$ el otro extremo de la garganta del agujero de gusano.

Ahora, pasamos el rato en el espacio plano entre la cáscara y el $l=+W$ la garganta, justo cerca de la concha. Y al igual que puedes gritar a un cañón y escuchar el eco, decides enviarte un mensaje a ti mismo cada segundo, enviando un pulso de luz absolutamente perfecto directamente a la garganta para que salga por el otro extremo del agujero de gusano, recorra el largo camino a través del espacio hasta llegar a la concha y atraviese un pequeño agujero en la concha que colocaste. Con un pulso perfecto nos referimos a que siga una geodésica similar a la de la luz. El mismo efecto se producirá si envías los mensajes a una velocidad inferior a la de la luz, pero esto sólo facilita las matemáticas.

Así que se envían estos mensajes una vez por segundo, y es posible que al principio haya que esperar un poco para recibirlos. Puedes utilizar el sistema de coordenadas del agujero de gusano, ya que estás dentro de la cáscara, y así tu tiempo propio es el tiempo de coordenadas ( $\phi_+=0$ ), digamos que lo envía a $t=0$ . Así que es el tiempo de coordenadas del agujero de gusano $t=9R/c+\Delta t_1= 9R/c+\int_{-W}^{+W}e^{\phi(l)}dl$ cuando llega a la otra boca (la $l=-W$ boca), como en el 18.42 de la página 241 de Visser. Allí, el tiempo de las coordenadas del agujero de gusano marca el mismo ritmo que el tiempo de las coordenadas de Schwarzschild. Esto significa que si estás enviando a uno por segundo en tu extremo, están llegando a una distancia adecuada de $10^9R$ de la cáscara a un ritmo de uno cada segundo de coordenadas de Schwarzschild. Y tienen $10^9R$ distancia a recorrer, por lo que podemos calcular el tiempo en coordenadas de Schwarzschild que se tarda en llegar a la cáscara, calculando $\Delta t_2= \int_{10R}^{10^9R+10R}(1-R/r)^{-1})dr/c=(10^9R+Rln(\frac{10^9+9}{9}))/c$ . Luego atraviesa la cáscara y llega a ti.

Aquí ocurre algo que no ocurría antes de que hiciéramos la cáscara. Antes de que hiciéramos el caparazón podíamos hacer lo mismo, enviarlos una vez por segundo, luego de $\Delta t_1$ coordenada del agujero de gusano, pero como $\phi_+=\phi_-$ empezarían a salir por el otro extremo a un ritmo de una vez por segundo de coordenadas del agujero de gusano una vez que empezaran a salir, y una vez que viajaran hasta ti, seguirían llegando una vez por segundo.

Pero después de la cáscara tenemos una historia diferente. Entran en el agujero de gusano a un ritmo de una vez por segundo de coordenadas de agujero de gusano. Como $\phi_+=\phi_-$ salen a un ritmo de una vez por segundo de coordenadas del agujero de gusano (una vez que empiezan a salir). Pero esto es casi exactamente igual al tiempo de coordenadas de Schwarzschild una distancia $10^9R$ de la masa (que se encuentra en una superficie de $4\pi (10R)^2$ ). Y así aparecen fuera del agujero de gusano a un ritmo de casi una vez por tiempo de coordenadas de Schwarzschild $\sqrt{1-1/(10^9+10)}=\approx 1$ . Pero eso significa que una vez que llegan a la cáscara empiezan a llegar a alguien justo dentro de la cáscara a un ritmo de $\sqrt{1-1R/10R}$ segundos de diferencia. Así que llegan cada $\sqrt{1-1/10}$ segundos, pero se envían cada segundo. Llegan más rápido de lo que se envían. Los primeros mensajes podrían ser aburridos, como sólo enviar el número 1, luego el número 2, luego el número 3, y enviar un montón antes de que empieces a recibirlos, pero una vez que empiezas a recibirlos también, y notas que están llegando más rápido de lo que los envías, podrías optar por empezar a enviar los números de la lotería de ayer en su lugar. Hay una acumulación finita de los viejos y aburridos mensajes que ya has enviado para trabajar y un número finito de mensajes en la cola (de construcción mental) de cosas que has enviado pero que no has recibido, pero reduces esa cola implacablemente ya que llegan más rápido de lo que los envías. Al final, empiezas a recibir mensajes que aún no has enviado. Esa es la prueba de que tienes una máquina del tiempo.

Para los números, si se mide el tiempo $$9R/c+\Delta t_1= 9R/c+\int_{-W}^{+W}e^{\phi(l)}dl(10^9R+Rln(\frac{10^9+9}{9}))/c$$ en segundos, te dice numéricamente cuántos mensajes has enviado antes de recibir el primero de vuelta. Entonces puedes pasar a enviar números de lotería (o lanzar una moneda y dar al lanzamiento un número de identificación único y registrar el resultado). Y tu cola se agota en 18,48683298 ( $1/(1/\sqrt{1-(R/10R)}-1)$ ) veces el tiempo que tardaste en empezar a recibir tus mensajes.

No es necesario que haya discontinuidades para hacer una máquina del tiempo de un agujero de gusano. Y no tienes que mover un agujero de gusano para hacer una máquina del tiempo de él. E incluso puedes empezar con un agujero de gusano en el que ambos extremos envejecen al mismo ritmo, y aún así hacer una máquina del tiempo si tienes alguna materia de densidad energética positiva ordinaria a mano, y un montón de tiempo para esperar a que se desincronice lo suficiente.

Y traté de usar toda la matemática requerida, y explicar la matemática que pensé que podrías malinterpretar.

Creo que el caso de la RG es el más sencillo porque las matemáticas del libro de Visser son sencillas, y si no hay discontinuidad temporal, las ecuaciones (con las que no tengo ningún problema) dicen que no se crea ninguna máquina del tiempo al poner una boca de agujero de gusano en un potencial gravitatorio fuerte.

Nunca pude entender por qué dijiste eso.

La respuesta adecuada a la parte de la pregunta de la RG es, por tanto, mostrar cómo surge una máquina del tiempo en ausencia de una discontinuidad temporal.

Hecho, construye un caparazón alrededor de uno de los extremos, espera mucho tiempo, tienes una máquina del tiempo.

Digo: "Mi aplicación de las matemáticas del experto (Visser) dice que no, ¿cómo es que mi aplicación es un error?"

No puedo decir por qué crees que las matemáticas de Visser no te permiten hacer una máquina del tiempo, pero espero que mi ejemplo sea más claro, ya que se limita a describir acciones reales, y a usar múltiples sistemas de coordenadas y sólo usar cada sistema de coordenadas localmente.

Answer 4

Aquí se adjunta una respuesta más completa

El problema de la conversión está en el punto en que las dos aberturas de los agujeros de gusano están separadas por un intervalo similar al de la luz. Se trata de un horizonte de Cauchy y existe este serpenteo de caminos, recorridos por partículas o fotones, que se amontonan en el horizonte. Esto incluiría también las partículas virtuales o el vacío, tal y como yo lo veo. El agujero de gusano tiene una unión de Lansczoc con una cáscara de masa-energía negativa que permite la existencia del agujero de gusano. El enrollamiento de los modos del vacío en el horizonte de Cauchy introduciría una enorme fluctuación de energía positiva que creo que destruiría el agujero de gusano. Creo que esto destruiría la solución, de modo que incluso si un agujero de gusano puede existir cualquier intento de convertirlo en una máquina del tiempo lo destruiría.

El otro problema es que en QM tenemos que el momento es el generador de un cambio de posición. Sin embargo, con los espacios-tiempos multi-conectados hay un curioso problema de amgibuidad. Una partícula puede viajar desde $x$ a $y$ mediante dos tipos de generadores de impulso o transformación $e^{ipx}$ . Así que no está del todo claro si el agujero de gusano es consistente con la mecánica cuántica.

Esta es sólo una breve respuesta en este momento. Intentaré elaborar una versión más completa en unos días.

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adición: Esto no es hermético, pero vale la pena un par de noches de trabajo. Creo que esto da un argumento bastante bueno de por qué no se puede transformar un agujero de gusano en una máquina del tiempo. Tendré que confesar que soy un gran enemigo de estos extravagantes espacios-tiempo que dan resultados más rápidos que la luz o de inversión del tiempo. Son resultados matemáticos, pero la mecánica cuántica los mata en la física. Además, se viola la condición de energía débil promediada $T^{00}~<~0$ , lo que significa que el campo cuántico que actúa como esta fuente no tiene ningún valor propio acotado inferiormente. Esto es un completo desastre.

Un agujero de gusano tiene una membrana o superficie con un campo que tiene una densidad de energía. Se parte de un agujero de gusano estático como punto de partida necesario. Comienza con la métrica de Reissner-Nordstrom $$ ds^2~=~-F(r)dt^2~+~{1\over {F(r)}}dr^2~+~d\Omega^2, $$ para $F(r)~=~1~-~r_0/r$ . El horizonte de sucesos con radio $r_0$ se sustituye por una unión o cáscara delgada en $r_0(t)~\rightarrow~r_0$ $+~\delta r(t)$ . Esto define las aberturas del agujero de gusano en dos regiones. Los vectores normales a esta esfera son $$ n^\mu~=~\pm\Big({{\dot r_0}\over{F(r_0)}},~\sqrt{F(r_0)~-~{\dot r_0}},~0,~0\Big), n_\mu~=~\pm\Big({\dot r_0},~{{\sqrt{F(r_0)~-~{\dot r_0}^2}\over {F(r_0)}}}, ~0, ~0\Big). $$ El signo es una indicación de la dirección de la normal en la esfera. La curvatura extrínseca se calcula como $K_{\mu\nu}~=~{1\over 2}n^\sigma\partial_\sigma g_{\mu\nu}$ y los componentes son $$ K_{\theta\theta}~=~\pm {1\over r_0}\sqrt{F(r_0)~-~{\dot r_0}^2} $$ $$ K_{tt}~=~\mp{1\over 2}{1\over{\sqrt{F(r_0)~-~{\dot r_0}^2}}}\Big({{\partial F(r_0)}\over{\partial r_0}}~-~{\ddot r_0}\Big). $$

La densidad energética $\rho~=~G^{00}$ $=~1/4\pi K_{\theta\theta}$ se integra en una configuración de caja de pastillas para encontrar el salto en la energía superficial en la membrana, que es el salto en la curvatura extrínseca en $r~=~r_0(t)$ . Para una membrana estática, la tensión es igual a la densidad de energía, por lo que existe una conservación global de la tensión-energía en la membrana. La densidad de energía se obtiene a partir de los tensores ADM $$ G^{00}~=~\rho~=~{1\over{2\pi r_0}}\sqrt{F(r_0)~-~{\dot r_0}^2} $$ y la tensión es $$ \tau~=~-{1\over{4\pi}}(K_{\theta\theta}~-~K_{tt}). $$ La membrana estática infiere entonces la siguiente ecuación $$ {{F(r_0)}\over{r_0^2}}~-~\Big( {{\dot r_0}\over {r_0}}\Big)^2~=~4\pi^2\tau^2. $$ La conservación de la energía $\partial\rho /\partial t$ aplicada a esta ecuación de restricción da como resultado la ecuación de evolución $$ {\ddot r_0}~+~{1\over {r_0}}\Big(F(r_0)~-~{\dot r_0}^2\Big)~-~{{\partial F(r_0)}\over {\partial r_0}}~=~0. $$ Esto describe la evolución dinámica del agujero de gusano en un entorno puramente clásico.

La evolución del vacío se rige por la discontinuidad del campo de Einstein en $r~=~r_0$ . Esta discontinuidad viene dada entonces por $$ \lim_{\epsilon~\rightarrow~0}\int_{-\epsilon}^{+\epsilon} G^{00}dn~=~\delta\rho~=~-{1\over{2\pi r_0}}\sqrt{F(r_0)~-~(\dot r_0~+~U)^2}, $$ donde $U~=~\sqrt{U^\mu U_\mu}$ es la velocidad del $r_1$ apertura. El valor de este cambio en la densidad de energía es positivo. Para inducir el agujero de gusano un campo de algún tipo de campo $\phi$ con una densidad de energía negativa $T^{00}(\phi)~<~0$ . Esta discontinuidad está determinada por este campo, es decir $\delta\rho~=~T^{00}(\phi)$ .

Con la mecánica cuántica tenemos un vacío que serpentea a través del agujero de gusano. Los operadores de creación y aniquilación $a^\dagger$ $a$ para este campo se potencian con respecto a la apertura en movimiento. Esto da lugar a un operador transformado de Bogoliubov para estos operadores con $$ b~=~a~\cosh(g(s))~+~a^\dagger \sinh(g(s)),~b^\dagger~=~ a^\dagger~\cosh(g(s))~+~a \sinh(g(s)). $$ El término $g(s)~=~gs$ para una aceleración constante. Lo interpretamos como un ángulo de rapidez que varía con respecto al tiempo propio $s$ y que diverge cuando las dos aberturas tienen una ligera separación. El hamiltoniano resulta ser $$ b^\dagger b~=~a^\dagger a~+~\big((a^\dagger)^2~+~a^2\big)\cosh(g(s))\sinh(g(s)) $$ La expectativa del campo sigue siendo la misma para $E_n~=~\langle n|b^\dagger b|n\rangle$ . El término fuera de la diagonal es una forma del operador de estado exprimido, que elimina el estado de vacío de los fotones fuera de la cuadratura. La incertidumbre en el momento y las posiciones se evalúan de manera que $\langle\Delta x\Delta p\rangle~=~(1/2)\sinh(2gs)$ que es la evaluación del término fuera de la diagonal con integridad. La entropía se puede evaluar a partir de $$ {k\over 2}\ln\big(\langle\Delta x\rangle\langle\Delta p\rangle~-~\langle\Delta x\Delta p\rangle^2 \big)~=~k~\ln(\cosh(2g(s)). $$ Esta entropía está asociada a la generación de fotones desde el vacío, o como una forma de radiación Hawking. La energía de esta radiación es positiva. A medida que la apertura del agujero de gusano se acerca a una separación similar a la de la luz, esta radiación demolerá el agujero de gusano al abrumar la energía negativa en la unión.

Answer 5

Consideremos el caso de un agujero de gusano de cáscara delgada en el espacio de Minkowski $M = \Bbb R^{2,1}$ (Necesitamos al menos dos dimensiones espaciales para un agujero de gusano adecuado sin que se produzca un cambio de topología).

Primero tenemos que definir dos hipersuperficies temporales $S_1$ y $S_2$ . Para simplificar las cosas, consideraremos que

1. La intersección de $S_i$ con la hipersuperficie de Cauchy es siempre $S^1$
2. Ese círculo es de radio constante
3. La primera hipersuperficie estará en reposo mientras que la segunda se moverá con cierta velocidad $\dot{q}_2(t)$ . Si se desea definir adecuadamente la velocidad de la propia hipersuperficie, se puede hacer considerando una foliación por geodésicas de tipo temporal en $S_i$ (cuya existencia está garantizada por la hiperbolicidad global) y luego considerar su aceleración en $M$ . Se puede describir mediante la segunda forma fundamental de esas superficies.

Entonces podemos definir las siguientes incrustaciones :

\begin{eqnarray} f_1(t, \theta) &=& (t, r\cos \theta - q^x_1, r \sin \theta - q^y_1)\\ f_2(t, \theta) &=& (t, r\cos \theta - q^x_2(t), r \sin \theta - q^y_2(t)) \end{eqnarray}

Su primera forma fundamental $f_{i*} g = \bar g^i$ es entonces sólo el tensor métrico de una esfera para componentes espaciales $(\bar g^i_{\theta\theta} = r^2)$ y

\begin{eqnarray} \bar g^i_{tt} &=& -1 + \dot{\vec{q}} \cdot \dot{\vec{q}}\\ \bar g^i_{t\theta} &=& r (\dot q^y \cos\theta -\dot q^x \sin \theta) \end{eqnarray}

A continuación, tenemos que realizar un poco de cirugía de colectores en esto. Quitamos el interior de $S_1$ y $S_2$ , dándonos el colector con límites $\partial S_1$ y $\partial S_2$ . Si definimos algún homeomorfismo

$$h : S_1 \to S_2$$

Podemos definir el colector $$(M \setminus (S_1 \cup S_2)) / \sim_h $$ donde $p \sim q$ si $p \in S_1$ , $q \in S_2$ y $q = h(p)$ . Puedes consultar la bibliografía (como Wall sobre topología diferencial) para asegurarte de que se trata de un colector.

Si tenemos un tensor métrico definido en una variedad con límites, el requisito para tener un tensor métrico definido en su encolado es que $h$ sea una isometría (cf. Clarke y Dray "Junction conditions for null hypersurfaces"). Nuestra función de encolado $h$ será algo así como

$$h(t_1, \theta_1) = (b(t_1, \theta_2), \xi(t, \theta_2))$$

Vamos a simplificar a $b(t)$ y $\xi(\theta_2)$ correspondiente a la asociación del tiempo $t_1$ a otro tiempo $t_2$ al cruzar el límite, y la identificación de la propia boca del agujero de gusano. Además, supondremos que $\dot b > 0$ (esto es para preservar la orientabilidad del tiempo).

El requisito de que $h$ sea una isometría corresponde a

$$\bar g^1_{\mu\nu} = \bar g^2_{\alpha\beta} \frac{\partial h^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial h^\beta}{\partial x^\nu}$$

o en otras palabras

\begin{eqnarray} \bar g^1_{tt} &=& -1 = [-1 + \dot{\vec{q}}_2 \cdot \dot{\vec{q}}_2] \dot{b}^2\\ \bar g^1_{t\theta} &=& 0 = \dot b \xi' r (\dot q^y \cos\theta -\dot q^x \sin \theta)\\ \bar g^1_{\theta\theta}&=& r^2 = r^2 (\xi')^2 \end{eqnarray}

El segundo término desaparece por el simple hecho de ser $\propto(|\dot q| \cos \theta \sin \theta - |\dot q| \cos \theta \sin \theta)$ . Entonces tenemos $\xi' = \pm 1$ o $\xi(\theta) = \pm \theta + \Delta \theta$ (es un $O(2)$ rotación), y

\begin{equation} \dot{b}^2 = \frac{1}{1 - \dot{\vec{q}}_2 \cdot \dot{\vec{q}}_2} \end{equation}

como $q^2 \in [0, 1)$ tenemos que $\dot{b}^2 \in (0, 1]$ y como hemos especificado que $\dot{b} > 0$ , $\dot{b} \in (0, 1]$ . La solución exacta puede encontrarse como

\begin{equation} b(t) = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - \dot{\vec{q}}_2(t) \cdot \dot{\vec{q}}_2(t)}} \end{equation}

Para obtener algunas soluciones reales, supongamos que $\dot q$ se mueve sólo en una dirección, y elige el viejo viaje de Langevin, el falso en el que el tramo inicial es sólo $\dot q_x = +v$ y el viaje de vuelta es $\dot q_x = -v$ . Entonces, para todo el viaje, tenemos

\begin{equation} b(t) = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - v^2}} \end{equation}

Si los dos agujeros de gusano están originalmente "sincronizados", es decir, $b(0) = 0$ , entonces podemos escribir simplemente

$$b(t) = \frac{t}{\sqrt{1 - v^2}} = \gamma t$$

El cambio de tiempo entre las dos bocas es

$$b(t) - t = t (\gamma - 1)$$

Puede comprobar que se trata de una constante para $v = 0$ . Esto significa que la boca de la hipersuperficie espacial $t$ se identifica con la boca de la hipersuperficie $\gamma t$ y viceversa: la segunda boca en el momento $t$ se identifica con la boca en el momento $t / \gamma$ .

A partir de ahí, no es muy difícil construir una curva temporal cerrada. Basta con conectar dos puntos identificados por la función de encolado a través de una curva temporal (si la distancia $q_1 - q_2$ no es demasiado grande, debería ser posible).