Utilizar la serie de Fourier para calcular $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}$

Question

Necesito calcular las series de Fourier de la siguiente función: $f(x)=\frac{-\pi}{4} $ para $-\pi \leq x <0$ y $\frac{\pi}{4} $ para $ 0 \leq x \leq \pi$ y luego utilizarlo y calcular $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}$

He intentado utilizar la igualdad de Parseval:

$$\widehat{f(n)}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}=\frac{1}{4in}-\frac{(-1)^n}{4in}, \sum_{-\infty}^{\infty}|\widehat{f(n)}|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2.$$

$$\sum_{-\infty}^{\infty}|\frac{1}{4in}-\frac{(-1)^n}{4in}|=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)=\frac{\pi^2}{16}.$$

¿Alguien ve cómo puedo calcular de esa forma la suma requerida?

Gracias.

Answer 1

O tal vez quiera pensar que

$$\eqalign{ & \omega = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \cdots = \frac{{{\pi ^2}}}{6} \cr & \frac{\omega }{4} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} + \cdots = \frac{{{\pi ^2}}}{{24}} \cr & \omega - \frac{\omega }{4} = 1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{7^2}}} + \cdots = \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{{{\pi ^2}}}{{24}} = \frac{{{\pi ^2}}}{8} \cr} $$

Answer 2

Como la función es impar, tenemos $\widehat f(2n)=0$ para todos los enteros $n$ y $$\widehat f(2n-1)=\frac 1{2\pi}\frac{\pi}4\left(-\int_{-\pi}^0e^{-i(2n-1)x}dx+\int_0^{\pi}e^{-i(2n-1)x}dx\right)\\\ =\frac 18\left(\frac 1{(2n-1)i}(1-(-1)^{2n-1})+\frac 1{(2n-1)i}(1-(-1)^{2n-1})\right) =\frac 1{2(2n-1)i}.$$ Tenemos $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx=\frac{\pi^2}{16}$ y $|\widehat f(2n-1)|^2=\frac1{4(2n-1)^2}$ así que por la igualdad de Parseval $$\frac{\pi^2}{16}=\sum_{n\in\mathbb Z}|\widehat f(2n-1)|^2=\sum_{n\in\mathbb Z}\frac1{4(2n-1)^2}=\frac 14 \sum_{n\in\mathbb Z}\frac 1{(2n-1)^2}\\\ =\frac 14\sum_{n\geq 1}\frac 1{(2n-1)^2}+\frac 14\sum_{n\geq 0}\frac 1{(2n+1)^2} =\frac 12\sum_{n\geq 1}\frac 1{(2n-1)^2}. $$ y finalmente $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}8.$$

Answer 3

Quieres que tu cálculo de los coeficientes esté en una forma conveniente; comprueba que $$|\hat{f}(n)|^2=\begin{cases} (2n)^{-2} & n \text{ odd} \\ \\ 0 & n \text{ even} \end{cases} $$

El mayor problema que veo en el trabajo que has publicado es que tienes una versión errónea de Parseval:

$$ \hskip 0.3in \sum_{-\infty}^{+\infty} |\hat{f}(n)|= \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|dx \hskip 0.3in \color{Red}{\text{Incorrect}} $$

La versión correcta es con cuadrados, lo que hace que los cálculos tengan sentido:

$$\hskip 0.3in \sum_{-\infty}^{+\infty} |\hat{f}(n)|^2= \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx \hskip 0.3in \color{LimeGreen}{\text{Correct}} $$

En el lado izquierdo añadiremos $(2n)^{-2}$ sobre las probabilidades dos veces, y el lado derecho es $\pi^2/16$ .

Answer 4

La serie de Fourier de $f$ viene dada por $$ \mathcal{F}f(x)= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1}\sin((2k-1)x), $$ que converge puntualmente a $f$ excepto en $x=0$ (donde es cero). Así que en $(-\pi, 0)$ podemos escribir $\mathcal{F}f =f$ e integrando ambos lados de la primera ecuación, obtenemos $$ -\frac{\pi^{2}}{4} = \int_{-\pi}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1}\int_{-\pi}^{0}\sin((2k-1)x) = -2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^{2}} $$ que da el resultado $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{2}} = \frac{\pi^{2}}{8} $$

Answer 5

Tenemos $$\frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^2}$$

Pero $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} $ así que $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$$

Pero en general para dos números reales $a,b>0$ tenemos

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(an+b)^2}=\int_0^\infty \frac{te^{-at}}{1-e^{-bt}}dt$$