Que la función $v(x,t)$ resolver la EDP $$ v_t = v_{xx} + av_{x}, \qquad t \geq 0, \quad x \in [0,1], $$ donde $a \in \mathbb{R}$ con una condición inicial (i.c.) para $t = 0$ y condiciones de contorno de Dirichlet cero.
En el sentido de la norma $L_2[0,1]$ norma, es este problema bien planteado?
Mi intento:
Separe las variables escribiendo $v(x,t) = E(t)g(x)$ . Siempre que el c.i. $g(x)$ posee una expansión en serie de Fourier para $x \in [0,1]$ : $$g(x) = \sum_{m=1}^{\infty}\alpha_m \sin m\pi x$$
y, sustituyéndolo en nuestra EDP, la solución completa puede escribirse como $$v(x,t) = \sum_{m=1}^{\infty}\alpha_m \exp\left(-m^2\pi^2+am\pi\frac{\sum_{m=1}^{\infty}\alpha_m\cos m\pi x}{\sum_{m=1}^{\infty}\alpha_m\sin m\pi x}\right)\sin m\pi x.$$ Ahora $$\vert v(x,t)\vert^2 = \int_0^1 \vert v(t,x)\vert^2 dx = \frac{1}{2}\sum_{m=1}^{\infty}\alpha_m \exp\left(-2m^2\pi^2+2am\pi\frac{\sum_{m=1}^{\infty}\alpha_m\cos m\pi x}{\sum_{m=1}^{\infty}\alpha_m\sin m\pi x}\right), $$ donde hemos utilizado el hecho de que $$\int_0^1 \sin m\pi x \sin j\pi x dx$$ sólo es distinto de cero (y $=1/2$ ) cuando $j = m$ . Para demostrar que está bien planteado, quiero intentar demostrar que $\vert E(t) \vert^2 \leq C$ de manera uniforme para todos los $t$ . Esto significa que tenemos que poner un límite a los exponenciales en nuestra suma. El primer término es prometedor, el segundo término con la fracción de aspecto desordenado lo es menos.
Preguntas:
¿Es correcto mi planteamiento hasta ahora (es decir, sin errores)?
¿Cómo termino mi argumento para demostrar que está bien planteado?
Se agradece cualquier ayuda.
