Ciclos en oribifolds

Question

Supongamos que tenemos un compacto orientable, $n$ -orbifolio dimensional $X$ , donde $n \geq 3$ . Supongamos que existe un único punto aislado del orbifold $p_{0} \in X$ con una vecindad homeomorfa a $\mathbb{R}^{n} /\{\pm 1\}$ es decir, el cono sobre $\mathbb{RP}^{n-1}$ . En particular $X$ tiene un único punto del orbifolio de orden $2$ .

En lo que sigue, cuando me refiero a la homología, me refiero sólo a la homología singular del espacio topológico subyacente de $X$ . Creo que la siguiente afirmación debe ser cierta y me gustaría pedir una prueba o una referencia para ello.

Pregunta: Supongamos que tenemos un ciclo integral $C \in C_{d}(X,\mathbb{Z})$ en $X$ y $0 < d < \dim(X)$ . Entonces $[2C]$ está representado por un ciclo que es (teóricamente) disjunto de $p_{0} \in X$ .

Answer 1

Aquí están los detalles de la bonita solución de Moishe Kohan. W

Es un hecho: Dejemos que $m>0$ sea un número entero, para $0<i<m$ para cualquier $\alpha \in H_{i}(\mathbb{RP}^{m},\mathbb{Z})$ satisface $2 \alpha =0$ .

Dejemos que $U$ sea una pequeña vecindad del punto del orbifold, homeomorfo del cono en $\mathbb{RP}^{n-1}$ En particular $U$ es contraíble. Sea $V$ sea una pequeña vecindad de $X \setminus U$ para que $U \cap V$ es homeomorfo a $(0,1) \times \mathbb{RP}^{n-1}$ En particular, es homotópicamente equivalente a $\mathbb{RP}^{n-1}$ . Dejemos que se fije $0<d<\dim(X)$ y considerar la siguiente parte de la secuencia MV ascosiada a $(X,U,V)$ . Todos los grupos de homología se toman con coefientes integrales, utilizamos la homología reducida para asegurar el caso $d=1$ funciona.

$$\ldots \rightarrow H_{d}(U) \oplus H_{d}(V) \rightarrow H_{d}(X) \rightarrow H_{d-1}(U \cap V) \rightarrow \ldots $$

Considere $\beta \in H_{d}(X)$ entonces por el Hecho, la imagen de $2\beta$ en $H_{d-1}(U \cap V)$ es cero, por lo que $2\beta$ es a imagen y semejanza de $H_{d}(U) \oplus H_{d}(V)$ . La inclusión de cualquier ciclo en $V$ es claramente disjunta del punto del orbifold. Cualquier ciclo contenido en $U$ también puede hacerse disjunta porque $U$ es contraíble. Por lo tanto, la clase $2\beta$ está representado por un ciclo disjunto del punto del orbifold.