No tengo una respuesta a la pregunta "¿por qué querría uno considerar esas locuras en física ?" ya que no sé mucho de física, pero como estudiante de matemáticas sí tengo una respuesta a la pregunta "¿por qué querría uno considerar esas locuras en matemáticas ?"
Lo que los físicos llaman números de Grassmann es lo que los matemáticos llaman elementos de la álgebra exterior $\Lambda(V)$ sobre un espacio vectorial $V$ . El álgebra exterior surge naturalmente como la solución del siguiente problema geométrico. Digamos que $V$ tiene dimensión $n$ y que $v_1, ... v_n$ ser una base de la misma. Nos gustaría tener una bonita definición natural de la $n$ -del paraleletope definido por los vectores $\epsilon_1 v_1 + ... + \epsilon_n v_n, e_i \in \{ 0, 1 \}$ . Cuando $n = 2$ es el paralelogramo estándar definido por dos vectores linealmente independientes, y cuando $n = 3$ es el paralelepípedo estándar definido por tres vectores linealmente independientes.
Lo que pasa con el ingenuo La definición de volumen es que está muy cerca de tener propiedades matemáticas realmente buenas: es casi multilineal. Es decir, si denotamos el volumen que estamos viendo por $\text{Vol}(v_1, ... v_n)$ entonces es casi cierto que $\text{Vol}(v_1, ... v_i + cw, ... v_n) = \text{Vol}(v_1, ... v_n) + c \text{Vol}(v_1, ... v_{i-1}, w, v_{i+1}, ... v_n)$ . Se pueden dibujar bonitos diagramas para ver esto fácilmente. Sin embargo, en realidad no es completamente multilineal: dependiendo de cómo se varíe $w$ se dará cuenta de que a veces el volumen se reduce a cero y luego vuelve a subir de forma poco fluida cuando en realidad debería seguir siendo más negativo. (Esto se puede ver incluso en dos dimensiones, variando uno de los vectores hasta que pase el otro).
Para solucionarlo, tenemos que fijarnos en cambio en orientado volumen, que puede ser negativo, pero que tiene la enorme ventaja de ser completamente multilineal y suave. La otra gran propiedad que satisface es que si cualquiera de los dos vectores $v_i$ coinciden (es decir, los vectores son linealmente dependientes) entonces el volumen orientado es cero, lo cual tiene sentido. Resulta (y es un bonito ejercicio) que esto es equivalente a que el volumen orientado provenga de una operación "producto", el producto exterior, que es anticomutativo. Formalmente, estas dos condiciones definen un elemento de la potencia exterior superior $\Lambda^n(V)$ definido por el producto exterior $v_1 \wedge v_2 ... \wedge v_n$ y elegir un elemento de esta potencia exterior superior (una forma de volumen) nos permite asociar un número real a un $n$ -tupla de vectores que podemos llamar su volumen orientado en el sentido más ingenuo. Si $V$ está dotado de un producto interno, entonces hay dos elementos distinguidos de $\Lambda^n(V)$ dada por un producto cuña de una base ortonormal en algún orden, y es natural elegir una de ellas como forma de volumen.
Muy bien, ¿y qué pasa con el resto de los poderes exteriores $\Lambda^p(V)$ que componen el álgebra exterior? El punto de estos es que si $v_1, ... v_p, p < n$ es una tupla de vectores en $V$ podemos considerar el subespacio que abarcan y hablar del $p$ -volumen orientado del paraleletope dado por la $v_i$ en este subespacio. Pero el resultado de este cómputo no debe ser sólo un número: necesitamos una forma de hacerlo que lleve la cuenta de qué subespacio estamos dentro. Resulta que, matemáticamente, la forma más natural de hacer esto es tener en cuenta los requisitos que realmente queremos de este cálculo (la multilinealidad y el hecho de que si el $v_i$ no son linealmente independientes, entonces la respuesta debería ser cero), y luego simplemente definir el resultado del cálculo como el lo universal que obtenemos al imponer estos requisitos y nada más, y esto no es más que el poder exterior $\Lambda^p(V)$ .
Esta discusión espero que te haya motivado por qué el álgebra exterior es un objeto natural desde la perspectiva de la geometría. Desde Einstein, los físicos son conscientes de que la geometría tiene mucho que decir sobre la física, así que espero que el concepto tenga un poco más de sentido ahora.
Permítanme también decir algo sobre cómo los matemáticos modernos piensan en el "espacio" en sentido abstracto. En realidad, la inspiración del punto de vista moderno procede, al menos en parte, de la física: lo único que se puede saber realmente de un espacio son los observables definidos en él. En la física clásica, los observables forman un anillo conmutativo, por lo que se podría decir a grandes rasgos que el estudio de los anillos conmutativos es el estudio de los "espacios clásicos". En matemáticas este estudio, en abstracto, se llama geometría algebraica . Se trata de una teoría muy sofisticada que abarca la geometría algebraica clásica, la geometría aritmética y mucho más, y es en gran parte debido al éxito de esta teoría y de los enfoques de la geometría relacionados con los anillos conmutativos (espacios topológicos, colectores, espacios de medida) que los matemáticos se han acostumbrado al lema de que "los anillos conmutativos son anillos de observables en algún espacio".
Por supuesto, la mecánica cuántica nos dice que el universo real que nos rodea no funciona así. Los observables que nos interesan no conmutan, y esto es un gran problema. Así que, matemáticamente, lo que se necesita es una forma de pensar en los anillos no conmutativos como "espacios cuánticos" en algún sentido. Este tema es muy amplio, pero a grandes rasgos recibe el nombre de geometría no conmutativa . La idea es sencilla: si queremos tomarnos la mecánica cuántica completamente en serio, nuestros espacios no deberían tener "puntos" en absoluto porque los puntos son fenómenos clásicos que requieren implícitamente un anillo conmutativo de observables, que nosotros conozca no es lo que tenemos en realidad. Así que nuestros espacios deben ser cosas más complicadas que provienen de anillos no conmutativos de alguna manera.
Los números de Grassmann satisfacen una de las formas más manejables de la no conmutatividad (en realidad son conmutativa si se altera ligeramente la definición de "conmutativa", pero no importa...), y aún mejor, es una forma de no conmutatividad que está claramente relacionada con algo que preocupa a los físicos (las propiedades de los fermiones), por lo que los observables anticonmutativos son un paso natural desde los observables conmutativos para conseguir que nuestras matemáticas se alineen más estrechamente con la realidad sin dejar de ser capaces de pensar de una manera aproximadamente clásica.
