¿Hay algún número a y b en el que $a*b = ab$ ?

Question

¿Existe algún número entero positivo (no nulo) a & b donde $a*b = ab$ como en $3 * 4 = 34$ o $102*7 = 1027$ ? Si no es así, ¿cómo demuestran que no existen esos números?

Answer 1

Dejemos que $b^+$ sea la menor potencia de 10 (o lo que sea su base) que no sea menor que $b$ . Ex $54^+ = 100$ , $888^+ = 1000$ .

$$a \times b \le a \times b^+$$ $$a . b = a \times b^+ + b$$

Así que $a \times b < a.b$ .

Answer 2

Dejemos que $a$ y $b$ enteros positivos como $b$ tiene $k$ dígitos $(10^{k-1}\le b<10^k)$

Multiplicando la última desigualdad por $a$ da $ab<10^ka$

Entonces su igualdad $ab=$ ' $ab$ ' se convierte en $ab=10^ka+b$

Así que $10^ka+b<10^ka$ lo que significa $b<0$ . Contradicción.

Answer 3

Así que, básicamente, usted está tratando de encontrar las soluciones de $$a\times b = 10a+b$$ Reordenando, tenemos $$a=\frac {b}{b-10} $$ Espero que puedas seguir adelante.

Answer 4

Esto no es posible con cualquier combinación de dos números enteros positivos (dése que el 1 se considera el primer número entero positivo, no el cero) por una serie de razones. Esta es la razón que me resultó más obvia.

En este caso, nos fijaremos en el primer número $a$ que se convertiría en la primera parte del número $ab$ . Llamemos al $a$ en $a*b$ sólo $a$ y $a$ en $ab$ se anotará como $a'$ . De modo que los valores enteros de los dígitos de $a$ y $a'$ son iguales. Por lo tanto:

$$10^k*a=a'$$

Donde $k$ es igual al valor decimal (número de dígitos en) $b$ . La ecuación original se puede escribir:

$$a*b=a'+b$$

y utilizando la sustitución podemos reescribirlo como

$$a*b=10^k*a+b$$

Para que $10^k*a$ para estar separado de $b$ , $10^k*a$ debe ser al menos 1 mayor que el valor del dígito de $b$ Así que $k>digit(b)$ . Sin embargo, esto no funciona porque $k$ debe ser entonces igual y también mayor que el valor del dígito de $b$ al mismo tiempo, lo que no es posible para los valores $b>0$ en notación de base diez.

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Otra forma de pensar en esto es una regla de álgebra mucho más simple. Para que $b$ para ser igual en ambos $a*b$ y $10^k*a+b$ el primer dígito de $b$ debe ser igual a $1$ o $6$ . Esto se debe a que cualquier número entero positivo sólo repite su primera cifra cuando se multiplica por $1$ o $6$ . Un número no tiene SIEMPRE el mismo valor decimal cuando se multiplica el número con un $1$ o $6$ primer dígito; sin embargo, este es el único momento en que puede ocurrir.

$3*11=33$

$27*41=1,107$

$842*8756=6,614,752$

Esto funciona para los enteros que tienen cualquier valor de primer dígito mayor que $0$ Sin embargo, para que $10^k*a+b$ para terminar en el mismo valor que $b$ , $10^k*a$ debe ser un valor que termine en $0$ porque $k>1$ Por lo tanto, el primer dígito de $10^k*a+b$ y $a*b$ no puede ser igual mientras $10^k*a$ es verdadera para el valor de $a'$ .