Funcional al producto interno en el triple de Hilbert

Question

Si $V \subset H \subset V^*$ es un triple de Hilbert, y $f \in V^*$ No puedo representar $f(v) = (e,v)_V$ porque no identificamos $V$ con $V^*$ . Pero, ¿es cierto que $f(v) = (e,v)_H$ para algunos $e$ ?

Answer 1

Sí, es cierto: el teorema de la representación de Riesz se aplica al espacio de Hilbert $V$ independientemente de su relación con otros espacios.

Una forma sensata de tratar la no identificación es introducir el mapa de dualidad $J:V\to V^*$ definido por $J(e)=f$ en su notación. Este mapa es un isomorfismo de dos espacios de Hilbert distintos $V$ y $V^*$ . Esto es diferente del caso de un único espacio de Hilbert (real), cuando pensamos en $J$ como el mapa de identidad .

Por cierto, en los espacios complejos de Hilbert $J$ es conjugado-lineal, lo que es una fuente constante de ligera irritación (para mí al menos).