Conjunto de complementos del producto cartesiano

Question

Me cuesta saber qué significa que una cosa sea un complemento de una coordenada cartesiana.

Digamos que tengo los conjuntos arbitrarios no vacíos $A$ y $B$ : $$ (A \times B)^c$$

hace esto igual a las partes individuales: $$(A \times B)^c = A^c \times B^c?$$

Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Supongamos que $A{\times}B\subseteq X{\times}Y$ y así utilizando la notación del constructor de conjuntos: $$A{\times}B = \{(x,y)\in X{\times}Y\mid x\in A~\wedge~ y\in B\}$$

Debido a las leyes de negación dual de Morgan, el complemento (relativo a $X{\times}Y$ ) sería, por tanto, : $$(A{\times}B)^{\complement_{X{\times}Y}} = \{(x,y)\in X{\times}Y\mid x\notin A~\vee~ y\notin B\}$$

Así, tenemos $$(A{\times}B)^{\complement_{X{\times}Y}} = (A^{\complement_X}{\times}Y) \cup (X{\times}B^{\complement_Y}) \cup (A^{\complement_X}{\times}Y^{\complement_Y})$$

Answer 2

Típicamente, $$ (A\times B)^{c} \ne A^c \times B^c. $$ Por ejemplo, supongamos que $A = B = [0,1] \subseteq \mathbb{R}$ . Entonces $A \times B$ es el cuadrado de la unidad en $\mathbb{R}^2$ . El complemento del cuadrado unitario en $\mathbb{R}^2$ es el plano euclidiano con un agujero cuadrado cerca del origen. Por otro lado, $$A^c = B^c = \mathbb{R} \setminus [0,1] = (-\infty,0)\cup(1,\infty).$$ Entonces $A^c \times B^c$ acaba siendo el plano euclidiano, menos una "cruz" centrada cerca del origen. En concreto, es el conjunto de puntos $$ \{ (x,y) : (x < 0 \text{ or } x > 1) \text{ and } (y < 0 \text{ or } y > 1) \}.$$ Esto es pas lo mismo que el plano menos un cuadrado, y así $(A\times B)^c$ no es igual a $A^c \times B^c$ .

Answer 3

Al considerar subconjuntos de $X{\times}Y$ , entonces para todos los no vacíos $S,A \subseteq X~$ y para todos los no vacíos $T,B \subseteq Y$ tenemos que el relativa complemento del producto cartesiano es:

$$S{\times}T ~\smallsetminus~ A{\times}B ~=~ (S \smallsetminus A){\times}T ~\cup~ S{\times}(T \smallsetminus B)$$