Secuencia de números enteros generada mediante el uso de números trascendentales

Question

Dada la secuencia de números enteros en la que el $n^{\rm th}$ término se define por:

$$ f(n)=\lfloor nt \rfloor, $$

donde $t$ es un número trascendental y $n$ es un número entero positivo, ¿son infinitos los términos de la secuencia comprime?

Más concretamente, ¿qué términos de la sucesión son coprimos y cómo se puede demostrar o refutar dicha propiedad? Parece que el teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas es el camino a seguir, pero la presencia de la función suelo y los números trascendentales es un gran obstáculo.

En general, ¿qué puede decirse de la coprimalidad de los términos en tales secuencias?

Idem para las funciones:

• $f(n)=\lfloor n^t\rfloor$ ,
• $f(n)=\lfloor t^n\rfloor$ .

Answer 1

$\newcommand{\fl}[1]{\lfloor #1 \rfloor}$ Vamos a razonar sobre lo negativo. Supongamos que para algunos $t$ sólo un número finito de términos de $\fl{tn}$ son coprimos con algún otro término. Entonces debe haber algún número entero constante $s$ y divisor común entero constante $d > 1$ tal que $\fl{t(n+s)} = dm$ para todos $n>0$ .

Ahora escribe $i = \fl t$ y $x = t - i$ . Entonces tenemos:

$$\fl{(i + x)(n+s)} = dm$$ $$\fl{x(n+s)} = dm - i(n+s)$$

Pero también $$\fl{x(n+s+1)} = dm' - i(n+s+1)$$

Restando estos dos encontramos:

$$\fl{x(n+s+1)} - \fl{x(n+s)} = d(m'-m) - i$$

Si observamos esta ecuación $\bmod d$ encontramos:

$$\fl{x(n+s+1)} - \fl{x(n+s)} = - i$$

Desde $0 \leq x < 1$ el lado izquierdo sólo puede tomar valores $1$ y $0$ . Y para cualquier $x > 0$ el lado izquierdo varía entre $0$ y $1$ infinitamente a menudo para varios $n$ . Pero el lado derecho es constante, por lo tanto $x = 0$ y por lo tanto $t$ debe ser un número entero.