Para resolver el átomo de hidrógeno nivel de energía por $SO(4)$ simetría, ¿de dónde viene la simetría?
¿Cómo se puede ver directamente desde el Hamiltoniano?
Respuestas
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El Hamiltoniano para el átomo de hidrógeno $$ H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - \frac{k}{r} $$ describe un electrón en una central de $1/r$ potencial. Esto tiene la misma forma que en el problema de Kepler, y las simetrías son similares. Es evidente que existe una $SO(3)$ generado por el impulso angular $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$. En otras palabras, los componentes de $\mathbf{L}$ satisfacer $$ [L_i,L_j] = i \manejadores \epsilon_{ijk}L_k . $$ Una forma más sutil de simetría está dada por la de Laplace-método de Runge-Lenz vector $$ \mathbf{A} = \frac{1}{2m} ( \mathbf{p} \times \mathbf{L} - \mathbf{L} \times \mathbf{p}) - k \frac{\mathbf{r}}{r}. $$ Las relaciones de conmutación que implican $\mathbf{L}$ $\mathbf{A}$ $$ [L_i,A_j] = i\manejadores \epsilon_{ijk} A_k \\ [A_i,A_j] = -i\manejadores\epsilon_{ijk} \frac{2H}{m} L_k . $$ Hasta la normalización de la $\mathbf{L}$ esto es las relaciones de conmutación de $SO(4)$. (Aquí supongo que estamos considerando un estado asociado cuya energía $E$ es negativo. Si $E>0$ por encima de la relación generar un no-compacto $SO(3,1)$ simetría.)
Además, tanto la $\mathbf{L}$ $\mathbf{A}$ conmuta con el Hamiltoniano, $$ [H,L_i] = 0, \qquad [H,A_i] = 0 $$ mostrando que el hecho de generar simetrías del átomo de hidrógeno.
Eric Drechsel
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Es porque hay otra cantidad vectorial $A_i$ conserva además el momento angular $L_i$. Por otra parte, las relaciones de conmutación de $A_i$'s y $L_i$'s son los de $SO(4)$. Véase, por ejemplo, esta referencia : http://hep.uchicago.edu/~rosner/p342/projs/weinberg.pdf
James Hughes
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Yo quería complementar las respuestas anteriores. Para (1) $so(4) = so(3) \times so(3)$, $so(3)$ es de la geometría 3D de simetría de la Hamiltoniana, y el otro $so(3)$ es de la posibilidad de que el plazo de la $\frac{k}{r}$.
Para (2). el segundo $so(3)$ simetría es una dinámica de la simetría y sólo se mantiene cuando el potencial de plazo es inversamente proporcional a $r$. Uno tiene que hacer el cálculo para encontrarlo.
